다항 분포 계수의 합

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ 공정한 주사위를 던지고 있습니다. 1, 2 또는 3을 얻을 때마다 '1'을 기록합니다. 4를 얻을 때마다 '2'를 기록합니다. 5 또는 6을 얻을 때마다 '3'을 기록합니다.

내가 적어 모든 숫자의 곱에 필요한 총 던지기 수를 이라고합시다 . . 을 계산하거나 근사값을 정규 분포의 함수로 제공 할 수 있습니다. $N$ $\geq 100000$ $\P(N\geq 25)$

먼저 이므로 임을 알고 있습니다. 이제 , , 는 각각 1, 2, 3을 쓴 횟수입니다. 그때: $\P(N\geq 11) = 1$ $\log_3 100.000 \approx 10.48$ $a$ $b$ $c$

P (a, b, c ∣ n) = {\begin{cases} (\binom{n}{a, b, c}) {(\frac{1}{2})}^{a} {(\frac{1}{6})}^{b} {(\frac{1}{3})}^{c} & if a + b + c = n \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\P(a,b,c\mid n) = \begin{cases}\displaystyle\binom {n}{a, b, c} \left(\frac 1 2\right) ^ a \left(\frac 1 6\right)^b\left(\frac 1 3\right)^c &\text{ if } a + b + c = n \\ 0 &\text{ otherwise}\end{cases}$

내가 계산하고 싶은 것은 :

P (a + b + c \geq 25 ∣ 2^{b} 3^{c} \geq 100000)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid 2^b3^c\geq 100000)$

이것을 어떻게 계산합니까?

--편집하다:

따라서 조건을 다음과 같이 바꿀 수 있다고 제안했습니다.

P (a + b + c \geq 25 ∣ α a + β b + γ c \geq δ)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid \alpha a + \beta b + \gamma c \geq \delta)$

여기서 , , 및 입니다. $\alpha = 0$ $\beta = \log 2$ $\gamma = \log 3$ $\delta = \log 100000$

이것은 더 해결 가능해 보입니다! 불행히도 여전히 해결 방법을 모릅니다.

— 페드로 카르발류
소스

+1이 문제는 좀 더 친숙해 보일 수 있으며 여기서 및 입니다.

α a + β b + γ c \geq δ

$\alpha a + \beta b + \gamma c \ge \delta$

α = 0, β = \log (2), γ = \log (3),

$\alpha=0, \beta=\log(2), \gamma=\log(3),$

δ = \log (100000)

$\delta=\log(100000)$

— whuber

조건을 작성하는 새로운 방법을 추가했지만 불행히도 여전히이 문제를 해결하는 방법에 대한 가장 확실한 단서가 없습니다!

— Pedro Carvalho

또 다른 힌트는 '2' 가 번 발생하면 멈추게 된다는 것입니다. 따라서 매개 변수 및 ( 및 ) 의 음 이항으로 근사 할 수 있습니다. 많은 조합이 없기 때문에 정확한 답변도 관리 할 수 있습니다. 또한, 조건이 정확하지 않습니다 - 당신이 '2'또는 '3'은에 기록되었다 포함 할 필요가 번째 롤

17

$17$

17

$17$

0.5

$0.5$

11

$11$

1 / 3

$1/3$

N

$N$

— probabilityislogic

답변:

현재 질문은 다항식 랜덤 변수의 선형 함수 인 수량을 다루는 특정한 경우입니다. 필요한 불평등을 만족하는 다항식 조합을 열거하고 해당 범위에 대한 분포를 합산하여 문제를 정확하게 해결할 수 있습니다. 이 큰 경우에는 계산 상 불가능할 수있다. 이 경우 다항식에 대한 정규 근사값을 사용하여 근사 분포를 구할 수 있습니다. 이 근사치의 일반화 된 버전이 아래에 나와 있으며 이는 특정 예에 적용됩니다. $N$

일반적인 근사 문제 : 범위가 인 교환 가능한 랜덤 변수 시퀀스가 있다고 가정하십시오 . 어떤 옵션 계수 결과 벡터 형성 할 의 수를 카운트, 시퀀스 의 처음 값 에서 각 결과의 발생 . 기본 시퀀스가 교환 가능하므로 카운트 벡터는 다음과 같이 분포됩니다. $1, 2, ..., m$ $n \in \mathbb{N}$ $\boldsymbol{X} \equiv \boldsymbol{X} (n) \equiv (X_1, X_2, ..., X_m)$ $n$

\begin{array}{ll} X ~ Mu (n, θ) & θ = lim_{n \to \infty} X (n) / n . \end{array}

$\begin{array} \boldsymbol{X} \text{ ~ Mu}(n, \boldsymbol{\theta}) & & \boldsymbol{\theta} = \lim_{n \rightarrow \infty} \boldsymbol{X}(n)/n. \end{array}$

이제 음이 아닌 가중치 가중치를 사용하여 선형 함수를 정의한다고 가정합니다. $\boldsymbol{w} = (w_1, w_2, ..., w_m)$

A (n) \equiv \sum_{i = 1}^{m} w_{i} X_{i} .

$A(n) \equiv \sum_{i=1}^m w_i X_i.$

가중치가 음수가 아니기 때문에이 새로운 수량은 로 감소하지 않습니다 . 그런 다음 숫자 는 선형 함수에 대해 지정된 최소값을 얻는 데 필요한 최소 관측치입니다. 이 값이 (확률 적으로) 큰 경우 의 분포를 근사화하려고합니다 . $n$ $N(a) \equiv \min \{ n \in \mathbb{N} | A(n) \geqslant a \}$ $N(a)$

일반적인 근사 문제 해결 : 첫째, 은 에서 감소하지 않기 때문에 (모든 가중치가 음이 아닌 것으로 가정했기 때문에 유지됨) 다음과 같은 이점이 있습니다. $A(n)$ $n$

P (N (a) ⩾ n) = P (N (a) > n - 1) = P (A (n - 1) < a) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (N(a) > n - 1) = \mathbb{P} (A(n-1) < a).$

따라서 의 분포는 의 분포와 직접 관련이 있습니다 . 전자의 양이 크다고 가정하면 불연속 랜덤 벡터 을 다변량 정규 분포의 연속 근사치 로 대체하여 후자의 분포를 근사 할 수 있습니다 . 이로 인해 선형 수량 대한 정규 근사가 발생하며이 수량 의 모멘트를 직접 계산할 수 있습니다. 이를 위해 , 및 입니다 . 기본적인 대수를 사용하면 다음과 같은 이점이 있습니다. $N$ $A$ $\boldsymbol{X}$ $A(n)$ $\mathbb{E}(X_i) = n \theta_i$ $\mathbb{V}(X_i) = n \theta_i (1 - \theta_i)$ $\mathbb{C}(X_i, X_j) = -n \theta_i \theta_j$ $i \neq j$

μ \equiv E (\frac{1}{n} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i},

$\mu \equiv \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i,$

σ^{2} \equiv V (\frac{1}{\sqrt{n}} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i} - {(\sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i})}^{2} = μ (1 - μ) .

$\sigma^2 \equiv \mathbb{V}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i - \left(\sum_{i=1}^m w_i \theta_i\right)^2 = \mu (1 - \mu).$

다항식에 정규 근사를 취하면 근사 분포 됩니다. 이 근사값을 적용하면 다음과 같은 결과가 나타납니다. $A(n) \text{ ~ N} (n \mu, n \mu (1 - \mu))$

P (N (a) ⩾ n) = P (A (n - 1) < a) \approx Φ (\frac{a - (n - 1) μ}{\sqrt{(n - 1) μ (1 - μ)}}) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (A(n-1) < a) \approx \Phi \left(\frac{a - (n-1) \mu}{\sqrt{(n-1) \mu (1 - \mu)}}\right).$

(기호 표준 정규 분포 함수의 표준 표기한다.) 양에 관한 확률이 근사 찾아 적용하는 것이 가능하다 지정된 값 . 이것은 기본 다항식이며 기본 다항식 카운트 값의 값에 연속성 수정을 통합하려고 시도하지 않았습니다. 정확한 선형 함수와 동일한 처음 두 개의 중심 모멘트를 사용하여 정규 근사를 수행하여 얻습니다. $\Phi$ $N(a)$ $a$

문제에 대한 응용 프로그램 : 문제에는 확률 , 가중치 및 컷오프 값 . 따라서 (소수점 6 자리) 입니다. 우리가 가진 위의 근사를 적용하면 (소수점 6 자리) : $\boldsymbol{\theta} = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3})$ $\boldsymbol{w} = (0, \ln 2, \ln 3)$ $a = \ln 100000$ $\mu = \tfrac{1}{6}\ln 2 + \tfrac{1}{3}\ln 3 = 0.481729$

P (N (a) ⩾ 25) \approx Φ (\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}) = Φ (- 0.019838) = 0.492086.

$\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) \approx \Phi \left(\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}\right) =\Phi (-0.019838) = 0.492086.$

정확한 다항 분포를 적용하여 요구 사항을 충족하는 모든 조합을 정확한 결과는 . 따라서 우리는 근사치가 현재의 정확한 답과 매우 가깝다는 것을 알 수 있습니다. $\mathbb{P}(A(24) < a)$ $\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) = 0.483500$

이 답변이 특정 질문에 대한 답변을 제공하는 동시에 다항식 랜덤 벡터의 선형 함수에 적용되는 확률 적 결과의보다 일반적인 프레임 워크 내에 배치하기를 바랍니다. 현재 방법을 사용하면 직면하고있는 일반적인 유형의 문제에 대한 대략적인 솔루션을 얻을 수 있으므로 예제의 특정 숫자가 달라질 수 있습니다.

— 벤-복원 모니카
소스

정규 근사를하겠습니다.

먼저, 문제를 로그로 완전히 바꾸어 보자. 시간 t = 0에서 0부터 시작합니다. 그런 다음 각 단계에서 다음을 추가하십시오.

1/2 확률로 0
$\log(2)$ 확률이 1/6 인
$\log(3)$ 확률이 1/3 인

합계가 를 초과 할 때이 과정을 중단합니다 . 해당 지점에 도달하는 데 걸린 횟수는 ^입니다. $\log(10^5)$ $N$

내 계산기는 증분의 평균이 이고 분산이 임을 알려줍니다 . 참고로, 종료 지점은 이므로 대략 24 단계로 도달합니다. $\approx 0.48$ $\approx 0.25$ $\approx 11.51$

우리가 25 단계를 수행했다는 사실에 따라 합의 분포는 대략 12.0을 중심으로하고 분산이 6.25입니다. 이것은 우리에게 대략 가우시안 근사값을줍니다. $p(N\geq25)\approx 0.5$

가우스 근사값이 올바른지 여부를 확인하려면 N = 25의 합의 누적량을 살펴 봐야합니다. 증분이 대칭이 아닌 경우 근사값이 최고가 아닐 수 있습니다.

— 기 illa 데 하네
소스

당신은 나를 위해 파생을 완료 할 수 있습니까? 그것을 보는 데 어려움을 겪고 있습니다. 또한 정확한 계산 방법이 없습니까?

— Pedro Carvalho

log (1) 및 log (2)가있는 "log (2)"및 "log (3)"을 의미하지 않습니까?

— Glen_b-복지 주 모니카

@GuillaumeDehaene는 다음과 같이 썼다 : .... 나의 계산에 의해 이는 0.5

p (N \geq 25) \approx 0.5

$p(N\geq25)\approx 0.5$

P (N \geq 25) = 1 - P (N \leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266

$P(N\geq25) = 1 - P(N\leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266$

— 늑대와

P (n \ leq24) \ approx 0.18을 어떻게 얻습니까?

— 기 illa 데 하네