이변 량 이항 분포 시각화

질문 : 이변 량 이항 분포는 3 차원 공간에서 어떤 모양입니까?

다음은 다양한 매개 변수 값을 시각화하려는 특정 기능입니다. 즉, $n$ , $p_{1}$ 및 $p_{2}$ 입니다.

에프 ({엑스}_{1}, {엑스}_{2}) = \frac{엔!}{{엑스}_{1}! {엑스}_{2}!} 피_{1}^{{엑스}_{1}} 피_{2}^{{엑스}_{2}}, {엑스}_{1} + {엑스}_{2} = 엔, 피_{1} + 피_{2} = 1.

$f(x_{1},x_{2}) = \frac{n!}{x_{1}!x_{2}!}p_{1}^{x_{1}}p_{2}^{x_{2}}, \qquad x_{1}+x_{2}=n, \quad p_{1}+p_{2}=1.$

두 가지 제약 조건이 있습니다. $x_{1}+x_{2}=n$ 및 $p_{1}+p_{2}=1$ 입니다. 또한, $n$ 은 양의 정수, 예를 들어 $5$ 이다.

LaTeX (TikZ / PGFPLOTS)를 사용하여 함수를 플로팅하려고 두 번 시도했습니다. 그렇게하면 다음 값에 대해 아래 그래프를 얻습니다 , 및 , , 및 . 도메인 값에 대한 제약 조건을 성공적으로 구현하지 못했습니다. 이므로 약간 혼란스러워합니다. $n=5$ $p_{1}=0.1$ $p_{2}=0.9$ $n=5$ $p_{1}=0.4$ $p_{2}=0.6$ $x_{1}+x_{2}=n$

모든 언어로 작성된 시각화는 잘 수행되지만 (R, MATLAB 등) TikZ / PGFPLOTS를 사용하여 LaTeX에서 작업하고 있습니다.

첫번째 시도

, 및 $n=5$ $p_{1}=0.1$ $p_{2}=0.9$

두 번째 시도

, 및 $n=5$ $p_{1}=0.4$ $p_{2}=0.6$

편집하다:

참고로 여기 에 일부 그래프가 포함 된 기사가 있습니다. 논문 제목은 Atanu Biswasa와 Jing-Shiang Hwang의 "새로운 이변 량 이항 분포"입니다. 통계 및 확률 서신 60 (2002) 231–240.

편집 2 : 명확성을 위해 그리고 의견에서 @GlenB에 대한 응답으로 아래는 내 책에서 배포판이 어떻게 나에게 제공되었는지에 대한 스냅 샷입니다. 이 책은 퇴화 / 비 퇴화 사례 등을 언급하지 않습니다. 그것은 단순히 그것을 그렇게 제시하고 그것을 시각화하려고했습니다. 건배! 또한 @JohnK가 지적했듯이 x1 + x1 = 1과 관련하여 오타가있을 가능성이 높으며 x1 + x1 = n이어야한다고 제안합니다.

방정식 이미지 :

Spanos, A (1986) 계량 경제학 모델링의 기초. 케임브리지 대학 출판부

— 그레엄 월시
소스

그러나 연속적이어서는 안됩니까? 두 랜덤 변수는 이산 적입니다.

— JohnK

x1과 x2는 독립적입니다. 맞습니까? 의사 3D 플롯이 필요하십니까? 히트 맵이 허용됩니까?

— gung-복원 Monica Monica

이 같은 ?

— Antoni Parellada

@JohnK

이고

이면

(

는 단순히

). 이다 변량 (변량, 그것의로 간주하거나, 이항 퇴화 ).

x_{1} + x_{2} = n

$x_1+x_2=n$

p_{1} + p_{2} = 1

$p_1+p_2=1$

X_{1} \sim Binomial (n, p_{1})

$X_1\sim \text{Binomial}(n,p_1)$

X_{2}

$X_2$

n - X_{1}

$n-X_1$

— Glen_b-복지 주 모니카

귀하의 질문에 이변 량 이항에 대한 사양이 없습니다. (이성형이라고도 할 수있는 이변 량 분포를 지정하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 이변 형은 그 중 하나가 아니지만 일부는 특별한 경우가 있습니다). Biswasa & Hwang 참조는 불연속 이변 량 pmf의 적절한 표시 가 아닙니다 . 즉, 귀하의 질문에 아무 부족 하기 무승부를, 그리고 참고로 주로 방지하는 내용의 예로서 유용하다.

— Glen_b-복지 주 모니카

답변:

여기에는 두 가지 부분이 있습니다. 먼저 개별 확률이 무엇인지 파악한 다음 어떻게 든 구성해야합니다.

이항 PMF는 수많은 '성공'에 대한 일련의 확률입니다. 이변 량 이항 PMF는 '성공'의 가능한 조합 조합에 대한 일련의 확률이 될 것입니다. 귀하의 경우, 이므로 ( 성공 가능성 을 염두에두고 ) 그리드 / 이변 량 이항 분포에 가능한 결과가 있습니다. $n_i = n_j = 5$ $0$ $6\times 6 = 36$

한계 이항 PMF를 먼저 계산할 수 있는데, 이는 매우 간단하기 때문입니다. 변수가 독립적이므로 각 공동 확률은 한계 확률의 곱일뿐입니다. 이것은 행렬 대수입니다. 다음은 R코드를 사용하여이 프로세스를 보여줍니다 .

b1 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.1);  sum(b1)  # [1] 1
b9 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.9);  sum(b9)  # [1] 1
b4 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.4);  sum(b4)  # [1] 1
b6 = dbinom(0:5, size=5, prob=0.6);  sum(b6)  # [1] 1

b19 = b1%o%b9;  sum(b19)  # [1] 1
rownames(b19) <- colnames(b19) <- as.character(0:5)
round(b19, 6)
#       0        1        2        3        4        5
# 0 6e-06 0.000266 0.004783 0.043047 0.193710 0.348678
# 1 3e-06 0.000148 0.002657 0.023915 0.107617 0.193710
# 2 1e-06 0.000033 0.000590 0.005314 0.023915 0.043047
# 3 0e+00 0.000004 0.000066 0.000590 0.002657 0.004783
# 4 0e+00 0.000000 0.000004 0.000033 0.000148 0.000266
# 5 0e+00 0.000000 0.000000 0.000001 0.000003 0.000006
b46 = b4%o%b6;  sum(b46)  # [1] 1
rownames(b46) <- colnames(b46) <- as.character(0:5)
round(b46, 3)
#       0     1     2     3     4     5
# 0 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 1 0.003 0.020 0.060 0.090 0.067 0.020
# 2 0.004 0.027 0.080 0.119 0.090 0.027
# 3 0.002 0.018 0.053 0.080 0.060 0.018
# 4 0.001 0.006 0.018 0.027 0.020 0.006
# 5 0.000 0.001 0.002 0.004 0.003 0.001

이 시점에서 두 가지 필수 확률 행렬이 있습니다. 우리는 그것들을 그리는 방법을 결정하기 만하면됩니다. 솔직히 말해서, 나는 3D 막대 차트를 좋아하지 않습니다. 때문에 R나와 함께 동의하는 것 같다, 나는 Excel에서 이러한 플롯을했다 :

b19:

b46:

— gung-복직 모니카
소스

프리젠 테이션과 R 코드에 감사드립니다. 이것은 x1 + x2 = n에 대해 묻습니다. 이 상태가 유지되면 여기에 제시된 바와 같이,이 단지 기둥의 한 줄이어야합니다 : reference.wolfram.com/language/ref/MultinomialDistribution.html 나는 가정하자의 텅스텐 그래프 @Glen_b이 타락한 사례로 언급했다 무엇인가? 이것이 당신이 퇴행하지 않은 사례를 제시했음을 의미합니까?

— Graeme Walsh

GraemeWalsh, 내 프레젠테이션에는 x1 + x2 = n 인 이변 량 이항식이 표시되지 않습니다. @Glen_b가 의견과 그의 답변에서 광범위하게 논의했듯이, 나는 그것을 자격이없는 "이변 량 이항 분포"라고 부르지 않을 것입니다. 또한 응답 의견에서 말했듯이 x1 & x2는 독립적이 아니라 완벽하게 의존적임을 의미합니다. 사실, 나는 이것이 기괴한 변형이라는 것을 알지 못했습니다 (충분히 읽지 않으면 나를 비난 할 수 있습니다). Glen_b가 보여 주듯이, 그 버전은 한 줄의 기둥입니다. 내가 제시 한 것은 비 퇴화 사건이었습니다.

— gung-Monica Monica 복원

@ gung 나는 당신의 새로운 음모를 좋아합니다. 나는 당신의 논의가 퇴보 사건을 잘 다루고 있다고 생각한다 ( "개별 확률이 무엇인지 알아 내야한다"는 것이 실제로 모든 것을 말해야한다. 나는 그 사소한 계산을 수행했습니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

gung의 답변은 실제 이변 량 이항에 대한 좋은 답변이며 문제를 잘 설명합니다 (제목 질문에 대한 좋은 답변으로 수락하는 것이 좋습니다. 대부분의 사람들에게는 유용 할 것입니다).

$x_1$ $n$

그래서 물건을 올바르게 정의합시다. 랜덤 변수에 대한 정의는 실제로 제공되지 않으므로 약간의 추측이 남아 있습니다.

$Y_1\sim \text{binomial}(n,p_1),\:$ $P(Y_1=y_1)$ $y_1$ $y_1=0,1,...,n$ $X_1=Y_1/n$ $x_1=0,\frac16,\frac26,...,1$

$P(X_1=x_1)$ $x_2=n-x_1$ $p_2=1-p_1$

$n=6,p_1=0.3$

$x_2$ $x_1$ $1-x_1$ $x_2$

우리는 이것을 (규모) 변성 이변 량 이항으로 간주 할 수 있습니다.

그러나 책에서 정의 된 것을 이변 량 이항이라고 부르는 것은 약간의 스트레칭입니다 (효과적으로 단 변량 이항이기 때문에).

누군가가 3D 코드와 유사한 플롯을 생성하려고한다고 가정 할 때,이 작은 (R) 코드는 위의 두 번째 플롯에 매우 가깝습니다.

y = 0:6
x1 = y/6
x2 = 1-x1
p = dbinom(y,6,.3)
scatterplot3d(x1,x2,p,grid=TRUE, box=FALSE, cex.lab=1.2,
        color=3, cex.main=1.4,pch=21,bg=1,, type="h",angle=120,
        main="degenerate scaled binomial", ylab="x2", xlab="x1", 
        zlab="prob")

( scatterplot3d같은 이름의 기능을 포함 하는 패키지가 필요합니다 .)

"진정한"(변성되지 않은) 이변 량 이항식은 한 번에 두 변수에 변동이 있습니다. 다음은 특정 종류의 이변 량 이항식의 예입니다 (이 경우 독립적이지 않음). 나는 그렇지 않으면 "스틱"의 숲에서 길을 잃기 너무 쉽기 때문에 줄거리에서 다른 색상을 사용했습니다.

$X\sim\text{bin}(n_0,p)$ $Y\sim\text{bin}(n_y,p)$ $Z\sim\text{bin}(n_z,p)$ $X_1=X+Y$ $X_2=X+Z$

$X_1$ $X_2$

$n_0$ $n_y$ $n_z$ $=X$ $x_1=x_2$ $x_1+x_2=n$

[1] : Hamdan, MA (1972),
"불균등 한 한계 지수를 갖는 이변 량 이항 분포의 정식 확장"
국제 통계 검토 , 40 : 3 (12 월), pp. 277-280

— Glen_b-복귀 모니카
소스

c o r r (X_{1}, X_{2}) = - 1

$corr(X_1, X_2) = -1$

글렌 _b. 대단히 감사합니다. 내가 제시 한 수학 객체 (나에게 제시된 것!)가 (규모) 변성 이변 량 이항 항 이라는 점을 지적하면 매우 도움이되었습니다! 나는 처음부터 이것을 몰랐다. 마지막으로 초등학교 요청! 참 또는 실제 이변 량 이항을 정의하는 방법에 대해 (수학 표기법으로) 명시 적으로 표현할 수 있습니까? 도움이 될 것 같습니다.

— Graeme Walsh

X \sim bin (n_{0}, p)

$X\sim\text{bin}(n_0,p)$

Y \sim bin (n_{y}, p)

$Y\sim\text{bin}(n_y,p)$

Z \sim bin (n_{z}, p)

$Z\sim\text{bin}(n_z,p)$

X_{1} = X + Y

$X_1=X+Y$

X_{2} = X + Z

$X_2=X+Z$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

@Graeme ... 더 자세한 내용을 추가 할 계획입니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

Mathematica이제는 이런 것들이 상당히 강력 해졌습니다 . 문서에 문제의 해결책이 있습니다 . 약간의 추가로 나는 p = p1 = 0.4더 나은 시각적 표현 을 위해 모델을 만들었습니다 . 이것이 인터페이스의 모양과 제어 방법입니다.

단편

Manipulate[
 Grid[{
   {DiscretePlot3D[
     PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right],

    DiscretePlot3D[
     CDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}], {x, 0, 
      n}, {y, 0, n}, PlotLabel -> Row[{"n = ", n}], 
     ExtentSize -> Right]}
   }]
 ,
 {{n, 5}, 1, 20, 1, Appearance -> "Labeled"},
 {{p, 0.4}, 0.1, 0.9},
 TrackedSymbols -> True
 ]

여기서 가장 중요한 것은 PDF[MultinomialDistribution[n, {p, 1 - p}], {x, y}]자명 한 것입니다. Multinomial단지 pi각 변수에 대해 많은 분포를 가질 수 있음을 의미 합니다. 간단한 형태는 BinomialDistribution입니다. 물론 수동으로 만들 수도 있지만 내장 함수가 있으면 규칙을 사용해야합니다.

코드 구조에 대한 의견이 필요하면 알려주십시오.

— 가리 즈
소스