높은 순간을위한 한쪽 체비 쇼프 불평등

한쪽면에서 체비 쇼프의 불평등이 더 높은 순간과 비슷한가?

체비 쇼프 -Cantelli 불평등은 분산에만 작용하는 것으로 보이지만 체비 쇼프의 불평등은 모든 지수에 대해 쉽게 생성 될 수 있습니다.

더 높은 순간을 사용하는 일방적 인 불평등에 대해 아는 사람이 있습니까?

편의상 있도록 밀도 함수로 나타내고 연속 제로 평균 확률 변수 , 그리고 고려 여기서 . 우리는이 여기서 입니다. 경우 인 짝수 정수 양의 실수 후, 그래서 $X$$f(x)$$P\{X \geq a\}$$a > 0$

$$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$$ $g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$$n$$b$ $$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$$ $$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$$ 따라서 모든 양의 실수 와 에 대해 여기서 에서 가장 오른쪽에 기대하는 것은 -b 에 대한 X 의 n 번째 모멘트 ( n 짝수)입니다. . 때는 N = 2 , 최소의 상부에 결합 된 P \ {X \ GEQ \} 얻어지는 B = \ 시그마 ^ 2 / A 일방적 체비 셰프 부등식을주는 (또는 체비 셰프 - 텔리 불평등) P \ {X \ geq a \} \ leq \ frac {\ sigma ^ 2} {a ^ 2 + \ sigma ^ 2}. 더 큰 n 값의 경우 다음 과 관련하여 최소화$a$$b$ $$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$$ $(1)$$n$$n$$X$$-b$$n = 2$$P\{X \geq a\}$$b = \sigma^2/a$ $$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$$ $n$$b$ 는 더 지저분합니다.