안장 근사치는 어떻게 작동합니까?

안장 근사치 는 어떻게 작동합니까? 어떤 종류의 문제가 좋은가요?
(예를 들어 특정 예를 자유롭게 사용하십시오)

단점, 어려움, 조심해야 할 것들, 또는 경고에 대한 함정이 있습니까?

— 글렌 _b
소스

확률 밀도 함수에 대한 중철 근사화 (질량 함수에 대해서도 동일하게 작동하지만 밀도 측면에서만 여기서 이야기 할 것임)는 놀랍도록 잘 작동하는 근사치이며, 중앙 한계 정리의 개선으로 볼 수 있습니다. 따라서 중앙 제한 정리가있는 설정에서만 작동하지만 더 강력한 가정이 필요합니다.

모멘트 생성 기능이 존재하고 두 배의 차별화가 가능하다는 가정부터 시작합니다. 이것은 특히 모든 순간이 존재 함을 의미합니다. 하자 $X$ 모멘트 생성 함수 (MGF)과 랜덤 변수 일

M (t) = E e^{t X}

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} M(t) = \E e^{t X}$ 및 CGF (cumulant 발생 기능)

K (t) = \log M (t)

$K(t)=\log M(t)$ 여기서, (

\log

$\log$ 자연 로그를 나타냅니다). 개발 과정에서 나는 Ronald W Butler : "애플리케이션이있는 새들 포인트 근사치"(CUP)를 자세히 따를 것입니다. 우리는 Laplace 근사법을 사용하여 특정 적분에 대한 안장 근사법을 개발할 것입니다. 쓰기

e^{K (t)} = \int_{- \infty}^{\infty} e^{t x} f (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} \exp (t x + \log f (x)) d x = \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- h (t, x)) d x

$e^{K(t)} = \int_{-\infty}^\infty e^{t x} f(x) \; dx =\int_{-\infty}^\infty \exp(tx+\log f(x) ) \; dx \\ = \int_{-\infty}^\infty \exp(-h(t,x)) \; dx$

h (t, x) = - t x - \log f (x)

$h(t,x) = -tx - \log f(x)$

h (t, x)

$h(t,x)$

x

$x$

t

$t$

h (t, x) = h (t, x_{0}) + h^{'} (t, x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{1}{2} h^{″} (t, x_{0}) (x - x_{0})^{2} + \dots

$h(t,x)=h(t,x_0) + h'(t,x_0)(x-x_0) +\frac12 h''(t,x_0) (x-x_0)^2 +\dotsm$

^{'}

$'$

x

$x$

h^{'} (t, x) = - t - \frac{\partial}{\partial x} \log f (x) h^{″} (t, x) = - \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \log f (x) > 0

$h'(t,x)=-t-\frac{\partial}{\partial x}\log f(x) \\ h''(t,x)= -\frac{\partial^2}{\partial x^2} \log f(x) > 0$

x_{t}

$x_t$

h^{'} (t, x_{t}) = 0

$h'(t,x_t)=0$

h (t, x)

$h(t,x)$

x

$x$

\dots

$\dotsm$

e^{K (t)} \approx \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- h (t, x_{t}) - \frac{1}{2} h^{″} (t, x_{t}) (x - x_{t})^{2}) d x = e^{- h (t, x_{t})} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- \frac{1}{2} h^{″} (t, x_{t}) (x - x_{t})^{2}} d x

$e^{K(t)} \approx \int_{-\infty}^\infty \exp(-h(t,x_t)-\frac12 h''(t,x_t) (x-x_t)^2 ) \; dx \\ = e^{-h(t,x_t)} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac12 h''(t,x_t) (x-x_t)^2} \; dx$ 가우스 적분 인

는

e^{K (t)} \approx e^{- h (t, x_{t})} \sqrt{\frac{2 π}{h^{″} (t, x_{t})}} .

$e^{K(t)} \approx e^{-h(t,x_t)} \sqrt{\frac{2\pi}{h''(t,x_t)}}.$ 이것은 안장 근사치의 첫 번째 버전을

\begin{matrix} (*) & f (x_{t}) \approx \sqrt{\frac{h^{″} (t, x_{t})}{2 π}} \exp (K (t) - t x_{t}) \end{matrix}

$f(x_t) \approx \sqrt{\frac{h''(t,x_t)}{2\pi}} \exp(K(t) -t x_t) \\ \tag{*} \label{*}$ x_t

근사값은 지수 패밀리 형식입니다.

이제 우리는 이것을보다 유용한 형태로 만들기 위해 약간의 작업을해야합니다.

에서 우리 GET 와 관련하여 이것을 구별 하면 (가정에 따라), 따라서 와 의 관계 는 모노톤이므로 는 잘 정의되어 있습니다. 대한 근사가 필요합니다 . 이를 위해 우리는 $h'(t,x_t)=0$

t = - \frac{\partial}{\partial x_{t}} \log f (x_{t}) .

$t = -\frac{\partial}{\partial x_t} \log f(x_t).$

x_{t}

$x_t$

\frac{\partial t}{\partial x_{t}} = - \frac{\partial^{2}}{\partial x_{t}^{2}} \log f (x_{t}) > 0

$\frac{\partial t}{\partial x_t} = -\frac{\partial^2}{\partial x_t^2} \log f(x_t) > 0$

t

$t$

x_{t}

$x_t$

x_{t}

$x_t$

\frac{\partial}{\partial x_{t}} \log f (x_{t})

$\frac{\partial}{\partial x_t} \log f(x_t)$

(*)

$\eqref{*}$

\begin{matrix} (**) & \log f (x_{t}) = K (t) - t x_{t} - \frac{1}{2} \log \frac{2 π}{- \frac{\partial^{2}}{\partial x_{t}^{2}} \log f (x_{t})} . \end{matrix}

$\log f(x_t) = K(t) -t x_t -\frac12 \log \frac{2\pi}{-\frac{\partial^2}{\partial x_t^2} \log f(x_t)}. \tag{**} \label{**}$ 단지 위의 마지막 용어에 약하게 따라 가정 에 대한 그 유도체, 그래서 약 제로, 우리가 얻을 (우리는이에 대한 언급을 다시 올 것이다) 이 근사치까지 따라서 와 는 방정식 안장 방정식이라고하는 .

x_{t}

$x_t$

x_{t}

$x_t$

\frac{\partial \log f (x_{t})}{\partial x_{t}} \approx (K^{'} (t) - x_{t}) \frac{\partial t}{\partial x_{t}} - t

$\frac{\partial \log f(x_t)}{\partial x_t} \approx (K'(t)-x_t) \frac{\partial t}{\partial x_t} - t$

0 \approx t + \frac{\partial \log f (x_{t})}{\partial x_{t}} = (K^{'} (t) - x_{t}) \frac{\partial t}{\partial x_{t}}

$0 \approx t + \frac{\partial \log f(x_t)}{\partial x_t} = (K'(t)-x_t) \frac{\partial t}{\partial x_t}$

t

$t$

x_{t}

$x_t$

\begin{matrix} (§) & K^{'} (t) - x_{t} = 0, \end{matrix}

$K'(t) - x_t=0, \\ \tag{§} \label{§}$

를 결정할 때 지금 놓친 것은 그리고 새들 포인트 방정식 x_t의 암시 적 미분으로 찾을 수 있습니다 . 결과는 (최대 우리의 근사치)은 모두를 함께두기 우리 밀도의 최종 saddlepoint 근사치가 등의 $\eqref{*}$

h^{″} (t, x_{t}) = - \frac{\partial^{2} \log f (x_{t})}{\partial x_{t}^{2}} = - \frac{\partial}{\partial x_{t}} (\frac{\partial l o g f (x_{t})}{\partial x_{t}}) = - \frac{\partial}{\partial x_{t}} (- t) = (\frac{\partial x_{t}}{\partial t})^{- 1}

$h''(t,x_t) = -\frac{\partial^2 \log f(x_t)}{\partial x_t^2} \\ = -\frac{\partial}{\partial x_t} (\frac{\partial log f(x_t)}{\partial x_t} ) \\ = -\frac{\partial}{\partial x_t}(-t)= (\frac{\partial x_t}{\partial t})^{-1}$

K^{'} (t) = x_{t}

$K'(t)=x_t$

\frac{\partial x_{t}}{\partial t} = K^{″} (t) .

$\frac{\partial x_t}{\partial t} = K''(t).$

h^{″} (t, x_{t}) = \frac{1}{K^{″} (t)}

$h''(t,x_t) = \frac1{K''(t)}$

f (x)

$f(x)$

f (x_{t}) \approx e^{K (t) - t x_{t}} \sqrt{\frac{1}{2 π K^{″} (t)}} .

$f(x_t) \approx e^{K(t)- t x_t} \sqrt{\frac1{2\pi K''(t)}}.$ 이제, 특정 지점에서 밀도에 근접하는, 실질적으로이를 사용하는 그것을 위해, 우리는 saddlepoint 방정식을 해결 찾는 .

x_{t}

$x_t$

x_{t}

$x_t$

t

$t$

saddlepoint 근사 빈도에 따라 평균의 밀도에 근사치로 언급되는 IID 관찰 . 평균의 누적 생성 함수는 간단히 이므로 평균의 안장 근사값은 $n$ $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ $n K(t)$

f ({\bar{x}}_{t}) = e^{n K (t) - n t {\bar{x}}_{t}} \sqrt{\frac{n}{2 π K^{″} (t)}}

$f(\bar{x}_t) = e^{nK(t) - n t \bar{x}_t} \sqrt{\frac{n}{2\pi K''(t)}}$

첫 번째 예를 살펴 보겠습니다. 표준 정규 밀도 에 근접하면 어떻게됩니까? mgf는 따라서 이므로 새들 포인트 방정식은 x_t이고 새들 포인트 근사는 경우 근사는 정확합니다.

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} x^{2}}

$f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 x^2}$

M (t) = \exp (\frac{1}{2} t^{2})

$M(t)=\exp(\frac12 t^2)$

K (t) = \frac{1}{2} t^{2} K^{'} (t) = t K^{″} (t) = 1

$K(t)=\frac12 t^2 \\ K'(t)=t \\ K''(t)=1$

t = x_{t}

$t=x_t$

f (x_{t}) \approx e^{\frac{1}{2} t^{2} - t x_{t}} \sqrt{\frac{1}{2 π \cdot 1}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{1}{2} x_{t}^{2}}

$f(x_t) \approx e^{\frac12 t^2 -t x_t} \sqrt{\frac1{2\pi \cdot 1}} = \frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac12 x_t^2}$

변환 도메인의 부트 스트랩은 평균의 부트 스트랩 분포에 대한 중철 점 근사를 사용하여 분석적으로 부트 스트랩을 수행 할 수 있습니다!

우리가 iid를 어떤 밀도 에서 분배 가정 합니다 (시뮬레이션 된 예에서는 단위 지수 분포를 사용합니다). 샘플에서 우리는 경험적 모멘트 생성 함수 을 계산 한 다음 경험적 cgf 입니다. 우리는 평균 에 대한 경험적 mgf와 평균 대한 경험적 cgf가 필요합니다. 안장 근사치를 구성하는 데 사용되는 . 다음은 일부 R 코드 (R 버전 3.2.3)입니다. $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ $f$

\hat{M} (t) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} e^{t x_{i}}

$\hat{M}(t)= \frac1{n} \sum_{i=1}^n e^{t x_i}$

\hat{K} (t) = \log \hat{M} (t)

$\hat{K}(t) = \log \hat{M}(t)$

\log (\hat{M} (t / n)^{n})

$\log ( \hat{M}(t/n)^n )$

{\hat{K}}_{\bar{X}} (t) = n \log \hat{M} (t / n)

$\hat{K}_{\bar{X}}(t) = n \log \hat{M}(t/n)$

set.seed(1234)
x  <-  rexp(10)

require(Deriv)   ### From CRAN
drule[["sexpmean"]]   <-  alist(t=sexpmean1(t))  # adding diff rules to 
                                                 # Deriv
drule[["sexpmean1"]]  <-  alist(t=sexpmean2(t))

###

make_ecgf_mean  <-   function(x)   {
    n  <-  length(x)
    sexpmean  <-  function(t) mean(exp(t*x))
    sexpmean1 <-  function(t) mean(x*exp(t*x))
    sexpmean2 <-  function(t) mean(x*x*exp(t*x))
    emgf  <-  function(t) sexpmean(t)
    ecgf  <-   function(t)  n * log( emgf(t/n) )
    ecgf1 <-   Deriv(ecgf)
    ecgf2 <-   Deriv(ecgf1)
    return( list(ecgf=Vectorize(ecgf),
                 ecgf1=Vectorize(ecgf1),
                 ecgf2 =Vectorize(ecgf2) )    )
}

### Now we need a function solving the saddlepoint equation and constructing
### the approximation:
###

make_spa <-  function(cumgenfun_list) {
    K  <- cumgenfun_list[[1]]
    K1 <- cumgenfun_list[[2]]
    K2 <- cumgenfun_list[[3]]
    # local function for solving the speq:
    solve_speq  <-  function(x) {
          # Returns saddle point!
          uniroot(function(s) K1(s)-x,lower=-100,
                  upper = 100, 
                  extendInt = "yes")$root
}
    # Function finding fhat for one specific x:
    fhat0  <- function(x) {
        # Solve saddlepoint equation:
        s  <-  solve_speq(x)
        # Calculating saddlepoint density value:
        (1/sqrt(2*pi*K2(s)))*exp(K(s)-s*x)
    }
    # Returning a vectorized version:
    return(Vectorize(fhat0))
} #end make_fhat

(나는 이것을 다른 cgfs에 대해 쉽게 수정할 수있는 일반 코드로 작성하려고 시도했지만 코드는 여전히 강건하지 않습니다 ...)

그런 다음 단위 지수 분포에서 10 개의 독립적 인 관측치 샘플에이를 사용합니다. 우리는 일반적인 비모수 부트 스트래핑 "손으로"를 수행하고, 결과에 대한 부트 스트랩 히스토그램을 플로팅하고 안 장점 근사값을 오버 플롯합니다.

> ECGF  <- make_ecgf_mean(x)
> fhat  <-  make_spa(ECGF)
> fhat
function (x) 
{
    args <- lapply(as.list(match.call())[-1L], eval, parent.frame())
    names <- if (is.null(names(args))) 
        character(length(args))
    else names(args)
    dovec <- names %in% vectorize.args
    do.call("mapply", c(FUN = FUN, args[dovec], MoreArgs = list(args[!dovec]), 
        SIMPLIFY = SIMPLIFY, USE.NAMES = USE.NAMES))
}
<environment: 0x4e5a598>
> boots  <-  replicate(10000, mean(sample(x, length(x), replace=TRUE)), simplify=TRUE)
> boots  <-  replicate(10000, mean(sample(x, length(x), replace=TRUE)), simplify=TRUE)
> hist(boots, prob=TRUE)
> plot(fhat, from=0.001, to=2, col="red", add=TRUE)

결과 플롯 제공 :

근사치가 다소 좋은 것 같습니다!

새들 포인트 근사와 크기 조정을 통합하여 더 나은 근사를 얻을 수 있습니다.

> integrate(fhat, lower=0.1, upper=2)
1.026476 with absolute error < 9.7e-07

이제이 근사에 기반한 누적 분포 함수를 수치 적분으로 찾을 수 있지만 직접 새들 포인트 근사를 만들 수도 있습니다. 그러나 그것은 다른 게시물에 대한 것입니다.

마지막으로, 일부 의견은 위의 개발에서 제외되었습니다. 에서 우리는 근사값은 본질적으로 세 번째 임기를 무시했다. 왜 그렇게 할 수 있습니까? 하나의 관찰은 정규 밀도 함수의 경우, 왼쪽 항이 아무 것도 기여하지 않으므로 근사값이 정확하다는 것입니다. 따라서, 안 장점 근사는 중앙 한계 정리의 개선이므로, 우리는 정상에 다소 가깝기 때문에 이것이 잘 작동합니다. 특정 예를 볼 수도 있습니다. 포아송 분포에 대한 안 장점 근사를보고, 왼쪽의 세 번째 항을 보면,이 경우에는 트리 감마 함수가됩니다. $\eqref{**}$

마지막으로 왜 이름이? 복잡한 분석 기법을 사용하는 대체 파생물에서 유래 한 이름입니다. 나중에 우리는 그것을 볼 수 있지만 다른 게시물에서 볼 수 있습니다!

— 크 제틸 비 할보 르센
소스

지금까지 가지고있는 것은 훌륭합니다. 개발은 매우 분명합니다.

— Glen_b

kjetil 나는 "4 개의 작은 오타 1.를 해결하기 위해 시도 내가 따라 줘야 해 개발에 2"가 " 일에 approximatrion에 필요한 "3. " 우리가 그리워 무엇 4." " sadlepoint의 암시 적 차별화 "하지만 그렇게 나는 당신의 방정식 중 하나를 어 겼던 것처럼 보입니다- 편집 텍스트에서 볼 수 있듯이 텍스트 항목 만 변경 하지 않았기 때문에 어떻게되는지 모르겠습니다 . 롤백했지만 오류를 수정하여 문제가 발생하는 방법을 설명 할 수 없으므로 더 이상 문제를 일으키고 싶지 않습니다. 사과드립니다. (실제로 편집 세션을 열 자마자 파산 한 것처럼 보였습니다)

— Glen_b

이 문제를 일으키는 mathJax 버그 또는 편집 코드에 버그가있을 수 있습니다.

— Glen_b

@Christoph Hanck가 : 일부 specifix의에서 근사 얻으려면 , 당신은 saddlepoint 방정식 해결 찾을 수 .

x_{t}

$x_t$

(§)

$\eqref{§}$

t

$t$

— kjetil b halvorsen

경험적 cgf가 사용될 때, 결과 안장 근사치가 데이터의 볼록 껍질 외부에서 정의되지 않는다는 것을 지적 할 가치가 있습니다. Feuerverger (1989) "경험적 안 장점 근사"를 참조하십시오. 위의 부트 스트랩 예제에서도 마찬가지입니다.

— Matteo Fasiolo

여기서 kjetil의 대답을 확장하고 Cumulant Generating Function (CGF)을 알 수 없지만 데이터 , 추정 할 수있는 상황에 중점을 둡니다 . 가장 간단한 CGF 추정치는 아마도 Davison and Hinkley (1988) 의 추정치 일 것입니다. kjetil의 부트 스트랩 예에서 사용 된 하나입니다. 이 추정기는 새들 포인트 밀도를 평가하려는 지점 인 가 의 볼록 껍질 내에있는 경우에만 결과 새들 포인트 방정식 해결할 수 있다는 단점이 있습니다. . $x_1,\dots,x_n$ $x\in R^d$

\hat{K} (λ) = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} e^{λ^{T} x_{i}},

$\hat{K}(\lambda) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}e^{\lambda^Tx_i},$

{\hat{K}}^{'} (λ) = y,

$\hat{K}'(\lambda) = y,$

y

$y$

x_{1}, \dots, x_{n}

$x_1,\dots,x_n$

((1992) 및 Fasiolo et al. (2016) 은 안장 방정식을 모든 대해 풀 수있는 방식으로 설계된 두 개의 대체 CGF 추정기를 제안함으로써이 문제를 해결했습니다 . Fasiolo 등의 해결책. 확장 된 Empirical Saddlepoint Approximation ESA (2016)는 esaddle R 패키지로 구현되었으며 여기에 몇 가지 예가 나와 있습니다. $y$

간단한 일 변량 예제로 ESA를 사용하여 밀도 를 근사화하십시오 . $\text{Gamma}(2, 1)$

library("devtools")
install_github("mfasiolo/esaddle")
library("esaddle")

########## Simulating data
x <- rgamma(1000, 2, 1)

# Fixing tuning parameter of ESA
decay <-  0.05

# Evaluating ESA at several point
xSeq <- seq(-2, 8, length.out = 200)
tmp <- dsaddle(y = xSeq, X = x, decay = decay, log = TRUE)

# Plotting true density, ESA and normal approximation
plot(xSeq, exp(tmp$llk), type = 'l', ylab = "Density", xlab = "x")
lines(xSeq, dgamma(xSeq, 2, 1), col = 3)
lines(xSeq, dnorm(xSeq, mean(x), sd(x)), col = 2)
suppressWarnings( rug(x) )
legend("topright", c("ESA", "Truth", "Gaussian"), col = c(1, 3, 2), lty = 1)

이것은 맞습니다

깔개를 보면 데이터 범위 밖의 ESA 밀도를 평가 한 것이 분명합니다. 더 어려운 예는 다음과 같이 변형 된 이변 량 가우시안입니다.

# Function that evaluates the true density
dwarp <- function(x, alpha) {
  d <- length(alpha) + 1
  lik <- dnorm(x[ , 1], log = TRUE)
  tmp <- x[ , 1]^2
  for(ii in 2:d)
    lik <- lik + dnorm(x[ , ii] - alpha[ii-1]*tmp, log = TRUE)
  lik
}

# Function that simulates from true distribution
rwarp <- function(n = 1, alpha) {
  d <- length(alpha) + 1
  z <- matrix(rnorm(n*d), n, d)
  tmp <- z[ , 1]^2
  for(ii in 2:d) z[ , ii] <- z[ , ii] + alpha[ii-1]*tmp
  z
}

set.seed(64141)
# Creating 2d grid
m <- 50
expansion <- 1
x1 <- seq(-2, 3, length=m)* expansion; 
x2 <- seq(-3, 3, length=m) * expansion
x <- expand.grid(x1, x2) 

# Evaluating true density on grid
alpha <- 1
dw <- dwarp(x, alpha = alpha)

# Simulate random variables
X <- rwarp(1000, alpha = alpha)

# Evaluating ESA density
dwa <- dsaddle(as.matrix(x), X, decay = 0.1, log = FALSE)$llk

# Plotting true density
par(mfrow = c(1, 2))
plot(X, pch=".", col=1, ylim = c(min(x2), max(x2)), xlim = c(min(x1), max(x1)),
     main = "True density", xlab = expression(X[1]), ylab = expression(X[2]))
contour(x1, x2, matrix(dw, m, m), levels = quantile(as.vector(dw), seq(0.8, 0.995, length.out = 10)), col=2, add=T)

# Plotting ESA density
plot(X, pch=".",col=2, ylim = c(min(x2), max(x2)), xlim = c(min(x1), max(x1)),
     main = "ESA density", xlab = expression(X[1]), ylab = expression(X[2]))
contour(x1, x2, matrix(dwa, m, m), levels = quantile(as.vector(dwa), seq(0.8, 0.995, length.out = 10)), col=2, add=T)

착용감이 꽤 좋습니다.

— 마테오 파실로
소스

Kjetil의 위대한 답변 덕분에 나는 작은 예를 생각해 냈습니다.

분포를 고려하십시오 . 와 그 파생어는 여기 에서 찾을 수 있으며 아래 코드의 기능으로 재현됩니다. $\chi^2(m)$ $K(t)$

x <- seq(0.01,20,by=.1)
m <- 5

K  <- function(t,m) -1/2*m*log(1-2*t)
K1 <- function(t,m) m/(1-2*t)
K2 <- function(t,m) 2*m/(1-2*t)^2

saddlepointapproximation <- function(x) {
  t <- .5-m/(2*x)
  exp( K(t,m)-t*x )*sqrt( 1/(2*pi*K2(t,m)) )
}
plot( x, saddlepointapproximation(x), type="l", col="salmon", lwd=2)
lines(x, dchisq(x,df=m), col="lightgreen", lwd=2)

이것은 생산

이것은 분명히 밀도의 정 성적 특성을 얻는 근사치를 생성하지만 Kjetil의 의견에서 확인 된 것처럼 모든 곳의 정확한 밀도보다 높기 때문에 적절한 밀도가 아닙니다. 다음과 같이 근사값의 크기를 조정하면 다음과 같이 거의 무시할 수없는 근사 오차가 나타납니다.

scalingconstant <- integrate(saddlepointapproximation, x[1], x[length(x)])$value

approximationerror_unscaled <- dchisq(x,df=m) - saddlepointapproximation(x)
approximationerror_scaled   <- dchisq(x,df=m) - saddlepointapproximation(x) /
                                                    scalingconstant

plot( x, approximationerror_unscaled, type="l", col="salmon", lwd=2)
lines(x, approximationerror_scaled,             col="blue",   lwd=2)

— 크리스토프 행크
소스

이 기능은 안장 근사치를 하나로 통합 할 필요는 없지만 종종 가깝습니다. 수치 적분으로 크기를 조정할 수 있습니다.

— kjetil b halvorsen

상대 오차를 나타내는 것이 더 드러날 수 있습니다!

— kjetil b halvorsen

approximationerror_unscaled/approximationerror_scaled25.90798 주위를 맴돌다

— Christoph Hanck