임의의 겹치는 간격

분석 식을 찾는 방법 $D(n,l,L)$ 다음 문제에서?

나는 무작위로 드롭 $n$ 길이의 "바" $l$ 간격으로 $[0,L]$. "막대"가 겹칠 수 있습니다. 평균 총 길이를 찾고 싶습니다$D$ 간격의 $[0,L]$ 하나 이상의 "바"가 차지합니다.

"저밀도"한계에서, 중첩은 무시할 만하고 $D = n\cdot l$. "고밀도"한계에서$D$ 구혼 $L$. 하지만 어떻게 일반적인 표현을 얻을 수 있습니까?$D$? 그것은 매우 근본적인 통계적 문제가되어야하지만 포럼에서 설명 솔루션을 찾을 수 없었습니다.

도움을 주시면 감사하겠습니다.

막대는 서로 무작위로 (통계적으로 독립적으로) 떨어집니다.

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

점의 확률 $[x_0,x_0 + L]$ 하나의 드롭 바가 차지하는 것은

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$.

이에 따라 비어있을 확률은 $P_{e} = 1 - P_o$. 주어진 지점이 여전히 비어있을 확률$n$ 드롭 바는 $P_e^{n}$그리고 점령되는 것은

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

큰 $n$.

그런 다음 평균 점유 길이는 $[x_0,x_0 + L]$ 후 $n$ 임의의 "바 방울"은

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$.