표준 정규 확률 변수의 제곱의 pdf [닫힘]

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휴일 3 년 전 .

의 pdf를 찾아야하는이 문제가 $Y = X^2$ 있습니다. 내가 아는 것은 $X$ 는 분포 $N(0,1)$ 입니다. 는 어떤 종류의 분포 $Y = X^2$ 입니까? 와 동일 $X$ 합니까? pdf는 어떻게 찾습니까?

— 멜예 77
소스

PDF의

와 동일하지 않을 수

로

nonegative 될 것이다.

Y = X^{2}

$Y = X^2$

X

$X$

Y

$Y$

— JohnK

글쎄, 나는 시험을 위해 운동하고 있습니다. 아니, 숙제는 아닙니다. 나는 스스로 해결하려고 노력하고 있지만 이것을 알아낼 수 없습니다

— Melye77

[self-study]태그를 추가 하고 위키를 읽으십시오 . 그런 다음 지금까지 이해 한 내용, 시도한 내용 및 걸린 위치를 알려주십시오. 문제를 해결하는 데 도움이되는 힌트를 제공합니다.

— gung-Monica Monica 복원

이 특정 질문에 대한 직접적인 답변을 찾고 있다면 이와 같은 일반적인 "책 작업"스타일 질문에는 self-study태그 가 포함되어야합니다 (그리고 태그 위키를 읽고 질문에 대한 지침을 따르도록 질문을 수정해야합니다). 질문-문제를 직접 해결하기 위해 무엇을했는지 명확하게 식별하고 어려움을 겪는 시점에 필요한 구체적인 도움을 표시해야합니다). ... ctd

— Glen_b-복지국 Monica

ctd ... 반면에,이 유형의 일반적인 질문에 대한 답변을 찾고 있다면 (예 : "변환 된 랜덤 변수의 pdf를 어떻게 얻습니까?"), 그것은 이미 좋은 질문입니다. 사이트에 여러 번 답변

— Glen_b-복지국 모니카

확률 이론 및 통계의 가장 유명한 결과 중 하나를 발견했습니다. 이 사이트에서이 질문을하기 전에 질문에 대한 답변을 드리겠습니다.

우선, 노트의 PDF 것을 $Y = X^2$ 와 동일 할 수 없다 $X$ 로서 $Y$ 음수가 될 것이다. $Y$ 의 분포를 도출하기 위해 mgf 기법, cdf 기법 및 밀도 변환 기법의 세 가지 방법을 사용할 수 있습니다. 의 시작하자.

순간 생성 기능 기술 .

또는 원하는 기능 기술. $Y=X^2$ 의 mgf를 찾아야합니다 . 따라서 기대치를 계산해야합니다

E [e^{t X^{2}}]

$E\left[e^{tX^2}\right]$

무의식 통계학 자의 법칙을 사용하여 $X$ 분포에 대한이 적분을 계산하기 만하면 됩니다. 따라서 우리는 계산해야합니다

\begin{aligned} E [e^{t X^{2}}] = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{t x^{2}} e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x & = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{x^{2}}{2} (1 - 2 t)} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{{(1 - 2 t)}^{1 / 2}}{{(1 - 2 t)}^{1 / 2}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp {- \frac{x^{2}}{2} (1 - 2 t)} d t \\ = {(1 - 2 t)}^{- 1 / 2}, t < \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$

마지막 줄에서 우리는 적분과 평균 0을 갖는 가우스 적분과 적분을 비교했습니다 $\frac{1}{\left(1-2t\right)}$ . 물론 이것은 실제 라인을 통해 하나로 통합됩니다. 이제 그 결과로 무엇을 할 수 있습니까? 글쎄, 당신은 매우 복잡한 역변환을 적용하고이 MGF에 해당하는 pdf를 결정하거나 단순히 자유도를 가진 카이 제곱 분포의 MGF로 인식 할 수 있습니다. (카이 제곱 분포는감마 분포의 특수한 경우입니다. $\alpha = \frac{r}{2}$ , $r$ 자유도 인, 및 $\beta = 2$ ).

CDF 기술

이것은 아마도 당신이 할 수있는 가장 쉬운 일이며 Glen_b가 의견에서 제안합니다. 이 기술에 따르면, 우리는 계산

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (| X | \leq \sqrt{y})

$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$

$y$

\begin{aligned} F_{Y} (y) = P (| X | \leq \sqrt{y}) = P (- \sqrt{y} < X < \sqrt{y}) = Φ (\sqrt{y}) - Φ (- \sqrt{y}) \end{aligned}

$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$

$\Phi(.)$ $y$

f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} ϕ (\sqrt{y}) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} ϕ (- \sqrt{y}) = \frac{1}{\sqrt{y}} ϕ (\sqrt{y})

$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$

$\phi(.)$

f_{Y} (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y}{2}}, 0 < y < \infty

$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$

자유도가 1 인 카이 제곱 분포의 pdf로 인식합니다 (지금까지 패턴이 표시 될 수 있음).

밀도 변환 기술

$Y = g(X)$ $Y$

f_{Y} (y) = | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) | f_{X} (g^{- 1} (y))

$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$

$y$ $g$ $X$ $Y$ $g$

$X$ $Y= g(X)$ $g$ $Y$

f_{Y} (y) = \sum | \frac{d}{d y} g^{- 1} (y) | f_{X} (g^{- 1} (y))

$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$

여기서 합은 모든 역함수에 적용됩니다. 이 예는 그것을 분명히 할 것입니다.

$y = x^2$ $x = \pm \sqrt{y}$ $\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2} + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- y / 2}, 0 < y < \infty

$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$

자유도가 1 인 카이 제곱 분포의 pdf입니다. 참고로,이 기법은 더 이상 변환의 CDF를 파생시킬 필요가 없기 때문에 특히 유용합니다. 물론 이것은 개인적인 취향입니다.

따라서 표준 정규 확률 변수의 제곱이 자유도 1의 카이 제곱 분포를 따르는 지 확인하여 오늘 밤 잠자리에들 수 있습니다.

— 존
소스

우리는 일반적으로 자체 학습 질문에 대한 완전한 답변을 제공하지 않고 힌트 만 제공합니다. OP가 태그를 추가하지 않았거나 Google 정책을 준수하려고 시도 했으므로이 스레드를 닫아야합니다. 자가 학습 질문에 대한 정책은 여기 에서 찾을 수 있습니다 .

— gung-복직 모니카

@ gung 나는 OP가 어디서나 답을 찾을 수 있다고 확신합니다. 이것은 정확히 획기적인 것은 아닙니다 :)

— JohnK

그것은 자기 연구 문제와 함께 거의 항상 사실입니다. 그럼에도 불구하고 우리는 일반적으로 사람들의 숙제에 대한 완전한 답변을 제공하지는 않지만, 그들이 스스로 알아내는 데 도움이되는 힌트 만 제공합니다.

— gung-Monica Monica 복원

@ JohnK, 답변 주셔서 감사합니다. CDF 기술로 작성한 내용에 대한 질문 : 이 아니어야합니다.

f_{Y} (y) = \frac{1}{2} F_{Y}^{'}

$f_Y(y) = \frac{1}{2}F_Y^{\prime}$

f_{Y} (y) = \frac{d}{d y} P (- y ⩽ Y ⩽ y) = f_{Y} (y) - (- f_{Y} (y)) = 2 \cdot f_{Y} (y)

$f_Y(y) = \frac{d}{dy} \mathbb{P}(-y \leqslant Y \leqslant y) = f_Y(y)-(-f_Y(y))= 2\cdot f_Y(y)$