음 이항 분포를 사용하기 위해 푸 아송 분포를 사용한 공정 모델링에서 전환 하시겠습니까?

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ 우리는 정해진 시간 동안 여러 번 발생할 수있는 임의의 과정을 가지고 있습니다 . 이 프로세스의 기존 모델의 데이터 피드를 통해 기간에 여러 이벤트가 발생할 확률을 제공합니다 . 이 기존 모델은 오래되었으며 추정 오류에 대해 피드 데이터에서 실시간 검사를 실행해야합니다. 데이터 피드를 생성하는 기존 모델 ( 시간 남은 에서 이벤트가 발생할 확률을 제공함 )은 대략 포아송 분포입니다.$T$$0 \leq t < T$$n$$t$

이상 / 오류를 확인하기 위해 $t$ 남은 시간으로, $X_t$ 남은 시간 t 에서 발생하는 총 이벤트 수로 설정합니다 $t$. 이전 모델은 추정치 $\P(X_t \leq c)$ 합니다. 따라서 $X_t\sim \operatorname{Poisson}(\lambda_{t})$ 은 다음과 같이 가정합니다. \ P (X_t \ leq c) = e ^ {-\ lambda} \ sum_ {k = 0} ^ c \ frac { \ lambda_t ^ k} {k!} \. 이전 모델의 출력 (관 측량 y_ {t} ) 에서

$$\P(X_t \leq c) = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^c\frac{\lambda_t^k}{k!}\,.$$ 이벤트 속도 \ lambda_t 를 도출 하기 위해 상태 공간 접근 방식을 사용하고 상태 관계를 다음과 같이 모델링합니다. y_t = \ lambda_t + \ varepsilon_t \ quad (\ varepsilon_t \ sim N ( 0, H_t)) \. $\lambda_t$$y_{t}$ $$y_t = \lambda_t + \varepsilon_t\quad (\varepsilon_t \sim N(0, H_t))\,.$$ 필터링 된 상태 E (\ lambda_t | Y_t) 를 얻기 위해 \ lambda_t 의 진화를위한 상태 공간 [constant speed decay] 모델을 사용하여 이전 모델의 관측치를 $\lambda_t$필터링하고 다음 에서 추정 된 이벤트 빈도에서 이상 / 오류를 표시합니다. 하여 피드 데이터의 경우 E (\ lambda_t | Y_t) <y_t .$E(\lambda_t|Y_t)$$E(\lambda_t|Y_t) < y_t$

이 접근법은 전체 기간 T 에 대한 예상 이벤트 카운트에서 오류를 포착하는 데 환상적으로 잘 작동 $T$하지만 다른 기간에 대해 동일한 작업을 수행하려는 경우에는 좋지 않습니다. $0 \leq t < \sigma$ 여기서 $\sigma < \frac{2}{3} T$ . 이 문제를 해결하기 위해 이제 X_t \ sim NB (r, p) 라고 가정 $X_t\sim NB(r, p)$하고 \ P (X_ {t} \ leq c) = p를 갖도록 음 이항 분포를 사용하도록 전환하기로 결정했습니다 . ^ {r} \ sum_ {k = 0} ^ c (1-p) ^ {k} \ binom {k + r -1} {r-1},

$$\P(X_{t} \leq c) = p^{r}\sum_{k = 0}^c (1 - p)^{k}\binom{k + r -1}{r - 1},$$ 여기서 \ lambda 매개 변수 $\lambda$는 이제 $r$ 과 p 로 대체됩니다$p$. 이것은 구현하기가 간단해야하지만 해석에 어려움이 있으므로 도와 드리겠습니다.

1. 음의 이항 분포에서 $p = \lambda$ 를 설정할 수 있습니까 ? 그렇지 않다면 왜 안됩니까?

2. 우리가 설정할 수있는 가정하면 $p = f(\lambda)$ 여기서, $f$ 어떤 함수이며, 어떻게 정확하게 설정할 수 $r$ (우리는 적합해야 하는가 $r$ 과거 데이터 세트를 사용하여)?

3. IS는 $r$ 우리가 주어진 과정에서 발생하는 예상 이벤트의 수에 따라 달라?

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$r$ (및 $p$ )에 대한 추정값 추출에 대한 부록 :

실제로이 문제를 되돌리고 각 프로세스에 대한 이벤트 수를 가졌다면 과 대해 최대 우도 추정값을 채택 할 수 있다는 것을 알고 있습니다. 물론 최대 우도 추정량은 표본 분산이 표본 평균보다 큰 표본에 대해서만 존재하지만,이 경우 독립적으로 동일하게 분포 된 관측치 대한 우도 함수를 설정할 수 있습니다 as : 로그 우도 함수를 다음과 같이 작성할 수 있습니다. P는 N의 K 1 , K 2 , ... , k는 N L ( R , P ) = N Π를 난 = 1 P ( k는 I , R , P ) , L ( R , P ) = N Σ를 난 = 1 명 (LN)을 ( Γ을 ( k i + r ) ) − N ∑$r$$p$$N$$k_1, k_2, \ldots, k_{N}$

$$L(r, p) = \prod_{i = 1}^{N}\P(k_i; r, p),$$ $$l(r, p) = \sum_{i = 1}^{N} \ln(\Gamma(k_i + r)) - \sum_{i = 1}^{N} \ln(k_{i}!) - N\ln(\Gamma(r)) + \sum_{i = 1}^{N} k_i \ln(p) + N r\ln(1 - p).$$ 최대 값을 구하려면 과 대한 부분 도함수를 취하여 0으로 설정합니다. 설정 및 설정 우리가 발견 : $r$$p$ $$\begin{align*} \partial_{r} l(r, p) &= \sum_{i = 1}^{N} \psi(k_i + r) - N\psi(r) + N\ln(1 - p), \\ \partial_{p} l(r, p) &= \sum_{i = 1}^{N} k_i\frac{1}{p} - N r \frac{1}{1 - p} \enspace . \end{align*}$$ $\partial_{r} l(r, p) = \partial_{p} l(r, p) = 0$$p = \displaystyle\sum_{i = 1}^{N} \displaystyle\frac{k_i} {(N r + \sum_{i = 1}^{N} k_i)},$ $$\partial_{r} l(r, p) = \sum_{i = 1}^{N} \psi(k_i + r) - N \psi(r) + N\ln\left(\frac{r}{r + \sum_{i = 1}^{N} \frac{k_i}{N}}\right) = 0.$$ 이 방정식은 Newton 또는 EM을 사용하여 닫힌 형태로 r에 대해 풀 수 없습니다. 그러나이 상황에서는 그렇지 않습니다. 우리가 비록 수 정적을 얻기 위해 과거의 데이터를 사용하여 및 이 정말 우리의 프로세스와 같은 사용되지 않습니다, 우리는 우리가 포아송를 사용하여 않았다 같은 시간에 이러한 매개 변수를 적용 할 필요가있다. $r$$p$

음 이항 분포는 이항 확률 모델과 매우 유사합니다. 다음 가정 (조건)이 양호 할 때 적용 가능하다. 1) C가 달성 될 때까지 일정한 수의 성공을 달성 할 때까지 동일한 조건에서 모든 실험을 수행한다. 2) 각 실험의 결과는 두 가지 범주 중 하나로 분류 될 수있다. , 성공 또는 실패 3) 각각의 실험에서 성공 확률 P는 동일하다. 첫 번째 조건은 이항과 음 이항 사이의 유일한 주요 차별화 요소입니다.

포아송 분포는 다음과 같은 특정 조건 하에서 이항식의 합리적인 근사치 일 수 있습니다. 1) 각 시행의 성공 확률은 매우 작습니다. P-> 0 2) np = m (say) is finete 통계 학자들이 가장 자주 사용하는 규칙은 포아송이 n이 20 이상이고 p가 5보다 작거나 같을 때 이항의 근사치라는 것입니다. %