Dirac의 델타 함수가 가우스 분포의 하위 클래스로 간주되어야합니까?

위키 데이터에서, 온톨로지에서 확률 분포 (다른 모든 것과 같은)를 링크하는 것이 가능하다. 예를 들어, t- 분포는 비 중심 t- 분포의 서브 클래스이다.

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

예를 들어, t- 분포의 자유도가 무한대로되거나 정규 분포 (가우스 분포)에 대해 분산이 0에 도달하는 경우와 같은 다양한 제한 사례가 있습니다. 후자의 경우 분배는 Dirac의 델타 함수로 진행됩니다.

나는 영어 위키 백과에서 분산 매개 변수가 현재 0보다 큰 것으로 명시되어 있으므로 엄격한 해석으로 Dirac의 델타 함수가 정규 분포의 하위 클래스라고 말할 수는 없습니다. 그러나 지수 분포가 Dirac의 델타 함수의 수퍼 클래스라고 말하면 꽤 괜찮아 보입니다.

Dirac의 델타 함수가 가우스 분포의 하위 클래스라는 문제가 있습니까?

distributions normal-distribution dirac-delta

— 핀 아룹 닐슨
소스

디락 델타가 가우시안의 하위 클래스라면 첨도는 3이되어야합니까?

— Aksakal

Dirac 델타를 여러 확률 분포의 서브 클래스로 간주하면 첨도는 Dirac Delta와 일치하지 않습니다. Dirac 델타는 이러한 배포판의 하위 클래스로 간주되지 않습니다.

— Finn Årup Nielsen

확률 맥락에서 델타는 일반화 된 함수로 설명됩니다. 그것은 일반적인 기능이 아니다

— Aksakal

답변:

Dirac의 델타는 편리한 경우 가우시안 분포로 간주되며,이 관점에서 예외를 요구할 때는 그렇게 간주되지 않습니다.

예를 들어, 은 가 실수 모든 선택에 대해 가우스 랜덤 변수 인 경우 다변량 가우스 분포 를 즐기는 것으로 알려져 있습니다 . (참고 : 이것은 "고급"통계 의 표준 정의입니다). 하나의 선택이기 때문에 $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\sum_i a_iX_i$ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ 이면 표준 정의는 상수 (변성 랜덤 변수)을 가우스 랜덤 변수 (평균 및 분산 )로 처리합니다. 다른 한편으로, 우리는 다음과 같은 것을 고려할 때 Dirac 델타를 가우스 분포로 간주하지 않습니다. $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ $0$ $0$

"표준 편차 를 갖는 0 평균 가우스 랜덤 변수의 누적 확률 분포 함수 (CDF) 는 $\sigma$ 여기서는 표준 가우스 랜덤 변수의 CDF입니다. "

{에프}_{엑스} (엑스) = 피 {엑스 \leq 엑스} = Φ (\frac{엑스}{σ})

$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

참고이 사항이 있음 거의 바로 하지만 확실히 오른쪽 우리는 표준 편차 접근 제로 평균 가우시안 랜덤 변수들의 시퀀스의 한정 경우와 디랙 델타 간주 경우 (따라서 가우시안 랜덤 변수)를. 디락 델타 CDF 값 갖는 대 반면 $0$ $1$ $x \geq 0$ 그러나 많은 사람들이 가우시안 분포로 Dirac 델타를 고려하는 것은 가우스 랜덤 변수의 분산이 양수 여야한다고 주장하기 때문에 넌센스가 아니라고 말할 것입니다. 그들 중 일부는이 답변을 다운 투표하여 불만을 표시합니다.) 몇 년 전 stats.SE 에서이 점에 대해 매우 활발하고 밝게 논의되었지만 불행히도 그것은 답변에 대한 의견 (@Macro의 의견)에만 있었으며 개별 답변이 아니므로 다시 찾을 수 없습니다. .

\underset{σ \to 0}{임} Φ (\frac{엑스}{σ}) = {\begin{cases} 0, & 엑스 < 0, \\ \frac{1}{2}, & 엑스 = 0, \\ 1, & 엑스 > 0. \end{cases}

$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$

— 디립 사르 베이트
소스

+1. CDF와 관련하여 문제가 있는지 확실하지 않습니다. 한도 내에서 CDF 시퀀스의 제한 값이 중요하지 않다고 생각하기 때문입니다. 그것을 보는 두 가지 방법이 있습니다. 하나는 제한 수식이 유효한 CDF가 아니라는 것입니다 (cadlag가 아님). 또 다른 당신이에서 디랙 분포를 얻을 수 있음을 참고하는 것입니다

당신이 할 때

동시에, 그러나 당신의 한계 값하도록 고안 할 수

사이에 어떤 일

및

(또는 전혀 제한이 없음).

0

$0$

(μ, σ) \to (0, 0)

$(\mu,\sigma)\to(0,0)$

Φ_{μ, σ} (0)

$\Phi_{\mu,\sigma}(0)$

0

$0$

1

$1$

— whuber

대화는 당신의 일이 참조하는 이 답변의 의견 나는 진심으로 대부분의 독자에 대한 논의가 나타나지 않습니다 희망하지만, 너무 활발한. (+1)

— 추기경

@cardinal 우리 공동체에 대한 깊은 지식. 잘 했어!

— Matthew Drury

델타 함수는 분포 의 수학적 이론에 적합합니다 ( 확률 분포 의 이론과는 상당히 다르므로 여기서 용어는 더 혼동 될 수 없습니다).

기본적으로 분포는 일반화 된 기능입니다. 그것들은 함수처럼 평가 될 수 없지만 통합 될 수 있습니다. 보다 정확하게는 분포 는 다음과 같이 정의됩니다. $D$

를 테스트 함수 의 모음으로 하자 . 테스트 기능 는 진정으로 신 기능에 정직하고, 간결하며, 컴팩트하게 지원됩니다. 분포는 선형 매핑입니다. $T$ $\theta$ $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

정직한 함수 는 통합 연산자에 의해 분포를 결정합니다. $f$

티 (θ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} 에프 (엑스) θ (엑스) 디 엑스

$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$

실제 함수와 관련이없는 분포가 있으며, dirac 연산자는 그 중 하나입니다

δ (θ) = θ (0)

$\delta(\theta) = \theta(0)$

이런 의미에서 dirac을 정규 분포의 제한적인 사례로 간주 할 수 있습니다. 가 평균 0 및 분산 갖는 pdf의 정규 분포의 패밀리 인 경우 , 모든 검정 함수에 $N_t$ $t$ $\theta$

θ (0) = \underset{티 \to 0}{임} \int_{- \infty}^{+ \infty} 엔_{티} (엑스) θ (엑스) 디 엑스

$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

이것은 아마도 더 일반적으로 표현됩니다

θ (0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (엑스) θ (엑스) 디 엑스 = \underset{티 \to 0}{임} \int_{- \infty}^{+ \infty} 엔_{티} (엑스) θ (엑스) 디 엑스

$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

수식 는 실제로 의미가 없기 때문에 수학자가 표기법의 남용을 고려할 것 입니다. 그러나 다시, 나는 최고의 사람인 Dirac을 비난하는 사람입니다. $\delta(x)$

물론 이것이 디락 을 정규 분포 가족 의 구성원으로 만드는지 여부 는 문화적 문제입니다. 여기서는 왜 그렇게 생각하는 것이 합리적일까요?

— 매튜 드 루리
소스

나는 당신의 진술에 동의하지만, 이것이 반대라고 생각합니다. 델타 함수는 가우스의 하위 집합이 아닙니다. 연속 기능의 한계가 연속 기능 일 필요는 없습니다.

— seanv507

@ seanv507 나는 결론을 말하지 않기 위해 최선을 다했다!

— Matthew Drury

I는 ... 분포는 결정 변수를 나타내는 디랙 델타 (확률) 분포와 같은 확률 분포 매우 오피니언

— user541686

적분의 한계를 쓰지 않으면 무한한 적분과 혼동 될 수 있습니다. 또한이 문장은 의미가 없습니다. "테스트 기능 θ는 진정으로 신의 기능에 정직하고, 간결하며, 간결한 지원을 제공합니다."

— ogogmad

@jkabrg 왜 이해가되지 않습니까? 내가 썼기 때문에 이해가되지 않는 것은보기 어렵다.

— Matthew Drury

-1

아니요. 정규 분포의 하위 클래스가 아닙니다.

혼란은 Dirac 기능의 표현 중 하나에서 비롯된 것 같습니다. 다음과 같이 정의되어 있음을 기억하십시오.

\int_{- \infty}^{\infty} δ (엑스) 디 엑스 = 1

$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$

δ (엑스) = 0, \forall 엑스 \neq 0

$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$

δ (엑스) = \underset{σ \to 0}{임} \frac{{이자형}^{\frac{- {엑스}^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

δ (엑스) = \frac{1}{2 π} \sum_{케이 = - \infty}^{\infty} {이자형}^{나는 케이 엑스}, \forall 엑스 \in (- π, π)

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$

따라서 Dirac 함수를 완전한 정의 측면에서 생각하고 가우시안과 같은 함수 표현을 편의 도구로 사용하는 것이 가장 좋습니다.

업데이트 @whuber의 관점에서, 더 좋은 예는 Dirac의 델타를 나타내는 것입니다.

δ (엑스) = \underset{σ \to 0}{임} \frac{{이자형}^{- \frac{| 엑스 |}{σ}}}{2 σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$

이것이 당신에게 라플라시안 분포 처럼 보 입니까? Dirac의 델타를 Laplacian 분포의 하위 클래스로 간주해서는 안됩니까?

— 악사 칼
소스

이 답변의 어느 시점에서 당신은 배포 논의에서 "기능"논의로 전환하는 것 같습니다. 질문은 "확률 분포"를 명시 적으로 언급합니다. 그것들은 일반적으로 밀도 함수에 의해 주어지지는 않지만 항상 그들의 분포 함수에 의해 주어질 수 있습니다 . 원자의 분포 ( "Dirac delta")는 다른 모든 가우시안 분포와 제한적으로 적합합니다. (Matthew Drury의 설정에서는 그 한계로 정의 됩니다!) 귀하의 주장은 원이 타원이 아니라고 주장하는 것과 비슷합니다. 그러한 예외를 시행하는 것은 건설적인 것처럼 보이지 않습니다.

— whuber

@ whuber, "원자 분포"란 무엇입니까?

— Aksakal

"원자"는 단일 지점에서의 확률의 덩어리입니다. 마찬가지로 거의 모든 곳에서 일정한 임의의 변수의 분포입니다.

— whuber

@ whuber, 오, 나는 물리적 원자를 생각하고있었습니다. 아니요, 제 요점은 Dirac의 델타가 가우시안의 하위 클래스가 아니라는 것입니다. 왜냐하면 배포판과 같은 Laplacian으로도 표현할 수 있기 때문입니다.

— Aksakal

(0, 1)

$(0,1)$

(0, θ)

$(0,\theta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

— whuber