확률 공간을 정의하기 위해 왜 시그마 대수가 필요한가?


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샘플 공간 형성하는 다른 결과에 대한 무작위 실험 이 있는데, 이벤트 라는 특정 패턴에 관심을시그마 대수 (또는 시그마 필드) 는 확률 측정 지정할 수있는 이벤트로 구성 됩니다. 널 세트 및 전체 샘플 공간을 포함하고 벤 다이어그램과의 결합 및 교차를 설명하는 대수를 포함하여 특정 특성이 충족 됩니다. Ω,F . P F. P

확률은 algebra와 구간 사이의 함수로 정의됩니다 . 전체적으로 트리플 은 확률 공간을 형성합니다 .σ[0,1](Ω,F,P)

누군가 -algebra 가 없다면 확률 건물이 무너지는 이유를 일반 영어로 설명 할 수 있습니까? 그들은 단지 붓글씨 "F"로 중간에 갇혀 있습니다. 나는 그들이 필요하다고 믿습니다. 이벤트가 결과와 다르지만 -algebras 없이는 무엇이 잘못 될까요?σσ

문제는 : 어떤 유형의 확률 문제에서 -algebra를 포함한 확률 공간의 정의 가 필수가 되는가?σ


Dartmouth University 웹 사이트의이 온라인 문서 는 영어로 쉽게 액세스 할 수있는 설명을 제공합니다. 아이디어는 단위 둘레 의 원에서 시계 반대 방향으로 회전하는 회전 포인터입니다 .

여기에 이미지 설명을 입력하십시오

우리는 그림과 같이 단위 원주와 포인터로 구성된 스피너를 구성하여 시작합니다. 우리는 원에 지점을 선택하고 레이블을 , 다음의 거리 원에 다른 모든 점에 레이블을 말할 에서, 시계 반대 방향으로 측정 된 점은. 실험은 포인터를 회전시키고 포인터 끝에서 점의 레이블을 기록하는 것으로 구성됩니다. 랜덤 변수 가이 결과의 값을 나타내도록합니다. 샘플 공간은 분명한 간격입니다0엑스0엑스[0,1)0 0 0 0 1. 각 결과가 똑같이 발생할 확률 모델을 구성하려고합니다. 한정된 수의 가능한 결과를 가진 실험에 대해 [...]와 같이 진행 하면 각 결과에 확률 을 할당해야합니다. 그렇지 않으면 가능한 모든 결과에 대한 확률의 합이 사실 1, 셀 수없는 실수를 합산하는 것은 까다로운 사업입니다. 특히 이러한 합이 어떤 의미를 갖기 위해서는 대부분의 합병 수는 대부분 과 다를 수 있습니다 . 할당 된 모든 확률은 후 합이고, 이 아닌 로해야.00001

따라서 각 점에 확률을 할당하고 무한한 수의 점이 있다고 가정하면 그 합은 됩니다.>1


9
측정 이론을 언급하지 않은 -fields 에 대한 답변을 요구하는 것은 자기 패배적인 것 같습니다 ! σ
Xi'an

5
그래도 ... 나는 당신의 의견을 이해하지 못합니다.
Antoni Parellada

8
분명히 시그마 필드의 필요성은 단지 의견의 문제가 아닙니다 ... 나는 이것이 (내 의견으로는) 여기 주제에서 고려 될 수 있다고 생각합니다.
gung

8
확률 이론에 대한 요구가 "머리"와 "꼬리"로 제한되어 있다면 -fields 가 필요하지 않습니다 ! σ
Xi'an

26
좋은 질문이라고 생각합니다. 따라서 종종 교과서에서 확률 트리플 대한 불필요한 참조를 볼 수 있으며 , 그 후에 저자는 이후 완전히 무시합니다. (Ω,F,P)
dsaxton

답변:


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시안의 첫 번째 요점 : 대수 에 대해 이야기 할 때 측정 가능한 세트에 대해 묻는 것이므로 불행히도 모든 대답은 측정 이론에 중점을 두어야합니다. 그래도 부드럽게 만들려고 노력할 것입니다.σ

셀 수없는 집합의 모든 부분 집합을 인정할 확률 이론은 수학을 깨뜨릴 것이다

이 예를 고려하십시오. 단위 제곱이 있고 단위 제곱에서 특정 세트의 구성원 인 점을 무작위로 선택할 가능성에 관심이 있다고 가정하십시오 . 많은 상황에서, 이것은 서로 다른 세트의 영역을 비교하여 쉽게 대답 할 수 있습니다. 예를 들어 원을 그리고 면적을 측정 한 다음 원 안에 떨어지는 사각형의 비율로 확률을 취할 수 있습니다. 매우 간단합니다.아르 자형2

그러나 관심 영역의 영역이 명확하지 않은 경우 어떻게해야합니까?

영역이 잘 정의되어 있지 않으면 영역이 무엇인지에 대해 두 가지 상이하지만 완전히 유효한 (어떤 의미에서) 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 이고 P ( A ) = 0 이면 0 = 1 을 의미 합니다. 이것은 수리를 넘어 모든 수학을 깨뜨립니다. 이제 5 < 0 및 기타 여러 터무니없는 것들을 증명할 수 있습니다 . 분명히 이것은 너무 유용하지 않습니다.(에이)=1(에이)=00=15<0

대수는 수학을 수정하는 패치입니다σ

정확히 대수 란 무엇입니까 ? 실제로 그렇게 무서운 것은 아닙니다. 이벤트로 간주 될 수있는 집합에 대한 정의 일뿐입니다. F가 아닌 요소 에는 정의 된 확률 측정 값이 없습니다. 기본적으로 σ- 대수는 "패치"로, 수학의 병리학 적 행동, 즉 측정 불가능한 세트를 피할 수있게합니다.σ에프σ

필드 의 세 가지 요구 사항은 우리가 확률로하려는 결과의 결과로 간주 될 수 있습니다. σ 필드는 세 가지 속성을 가진 집합입니다.σσ

  1. 셀 수있는 노동 조합의 폐쇄.
  2. 셀 수있는 교차로에서 폐쇄.
  3. 보완 아래 폐쇄.

계산 가능한 조합 및 계산 가능한 교차점 구성 요소는 측정 불가능한 세트 문제의 직접적인 결과입니다. 보완 아래 클로저 콜 모고 로프 공리의 결과이다 : 만약 , P ( 에어콘 ) 하여야 할 1 / 3 . 그러나 (3)이 없으면 P ( A c ) 가 정의되지 않을 수 있습니다. 이상 할 것입니다. 보체와 콜 모고 로프 공리의 폐쇄는 P ( A A c ) = P ((에이)=2/(에이)1/(에이) 입니다.(에이에이)=(에이)+1(에이)=1

마지막으로, 우리는 과 관련된 이벤트를 고려 하고 있으므로 Ω FΩΩ에프

희소식 : 대수는 셀 수없는 세트에만 엄격하게 필요합니다σ

그러나! 여기에도 좋은 소식이 있습니다. 또는 적어도 문제를 해결하는 방법입니다. 계산할 수없는 카디널리티가있는 세트에서 작업하는 경우 대수 만 필요합니다 . 우리가 셀 수있는 집합에 자신을 제한하면, 우리가 취할 수있는 F = 2 Ω에게 의 힘 세트 Ω을 우리가 때문에 셀 수에 대한 이러한 문제가되지 않습니다 Ω , 2 Ω는 단지 측정 세트로 구성되어 있습니다. (이것은 시안의 두 번째 주석에서 암시됩니다.) 일부 교과서는 실제로 여기서 미묘한 엉뚱한 것을 저지르고 확률 공간을 논의 할 때 셀 수있는 세트 만 고려한다는 것을 알 수 있습니다.σ에프=2ΩΩΩ2Ω

또한, 기하 문제에서 L n 측정 값이 정의 된 세트로 구성된 σ 대수 만 고려하면 충분합니다 . 이것을 좀 더 견고하게 접지하기 위해, n = 1 , 2 , 3에 대한 L n 은 길이, 면적 및 부피의 일반적인 개념에 해당합니다. 이전 예제에서 말한 것은 세트에 기하학적 확률이 할당되도록 잘 정의 된 영역이 있어야한다는 것입니다. 그리고 그 이유는 이것입니다 : 측정 할 수없는 세트를 인정하면, 증거에 따라 확률 1을 어떤 사건에 할당하고 확률 0을아르 자형σ=1,2,다른 증거를 기반으로 한 동일한 이벤트 이벤트.

그러나 셀 수없는 세트와의 연결이 혼동되지 않도록하십시오! 대수는 셀 수있는 집합 이라는 일반적인 오해입니다 . 실제로, 그들은 셀 수 있거나 셀 수 없습니다. 이 그림을 고려하십시오. 전과 마찬가지로 단위 사각형이 있습니다. 정의 F = 정의와 단위 사각형의 모든 부분 집합  L 2  측정 . 모든 s side ( 0 , 1 )에 대해 측면 길이 s 를 사용 하고 ( 0 , 0 )에 모서리가 하나 인 정사각형 B 를 그릴 수 있습니다.σ

에프=정의 된 단위 사각형의 모든 하위 집합 2 법안.
에스에스(0,1)(0,0). 이 정사각형은 단위 정사각형의 하위 집합이라는 것이 분명해야합니다. 또한이 모든 사각형은 면적을 정의하므로이 사각형은 요소입니다 . 그러나 많은 수의 제곱 B 가 있음을 분명히해야합니다 . 이러한 제곱의 수 는 헤아릴 수 없으며 각 제곱은 Lebesgue 측정을 정의했습니다.에프

따라서 실제로는 단순히 관찰만으로도 관심있는 문제에 맞서기 위해 Lebesgue 측정 가능 세트 만 고려한다는 관찰을하기에 충분합니다.

그러나 측정 할 수없는 세트는 무엇입니까?

나는 이것에 대해 약간의 빛만 비출 까봐 두렵다. 그러나 Banach-Tarski 역설 (때로는 "태양과 완두콩"역설)이 우리에게 도움이 될 수 있습니다.

3 차원 공간에 단단한 공이 주어지면 공을 유한 한 수의 분리 된 부분 집합으로 분해 한 다음 다른 방법으로 다시 조합하여 원래 공의 동일한 사본 두 개를 산출 할 수 있습니다. 실제로, 재 조립 프로세스는 형태를 바꾸지 않고 조각들을 이동시키고 회전시키는 것을 포함한다. 그러나 조각 자체는 일반적인 의미에서 "고체"가 아니라 점의 무한한 산란입니다. 재구성은 5 개 정도의 작은 조각으로 작동 할 수 있습니다.

더 강력한 형태의 정리는 두 개의 "합리적인"단단한 물체 (예 : 작은 공 및 큰 공)가 주어지면 둘 중 하나가 다른 것으로 재 조립 될 수 있음을 의미합니다. 이것은 종종 "완두콩을 자르고 햇볕에 재 조립할 수있다"고 "완두콩과 태양의 역설"이라고 불린다. 1

따라서 에서 확률로 작업 하고 기하학적 확률 측정 (볼륨 비율)을 사용하는 경우 일부 이벤트의 확률을 계산하려고합니다. 그러나 공간 세트를 재정렬하여 볼륨을 변경할 수 있기 때문에 확률을 정확하게 정의하기 어려울 것입니다! 확률이 부피에 의존하고 세트의 부피를 태양의 크기 또는 완두콩의 크기로 변경할 수 있으면 확률도 변경됩니다. 따라서 어떤 사건도 단일 확률로 인해 발생하지 않습니다. 더 나쁜, 당신은 다시 정렬 할 수 있습니다 S Ω이 의 볼륨하도록 S는V를 ( S ) > V ( Ω )아르 자형에스Ω에스V(에스)>V(Ω)이는 확률이 측정 1을 요구하는 Kolmogorov 공리의 명백한 위반에서 기하 확률 측정이 확률 보고 함을 의미합니다 .(에스)>1

이 역설을 해결하기 위해 네 가지 양보 중 하나를 할 수 있습니다.

  1. 회전하면 세트의 볼륨이 변경 될 수 있습니다.
  2. 두 개의 분리 세트의 결합 체적은 체적의 합과 다를 수 있습니다.
  3. Zermelo-Fraenkel의 원칙은 선택의 원칙 (ZFC)으로 이론을 변경해야 할 수도 있습니다.
  4. 일부 세트에는 "측정 불가능"으로 태그가 지정 될 수 있으며, 볼륨에 대해 이야기하기 전에 세트가 "측정 가능"인지 확인해야합니다.

옵션 (1)은 확률을 정의하는 데 도움이되지 않으므로 제외됩니다. 옵션 (2)는 두 번째 Kolmogorov 공리를 위반하므로 제외됩니다. 옵션 (3)은 ZFC가 생성하는 것보다 훨씬 많은 문제를 해결하기 때문에 끔찍한 생각처럼 보입니다. 그러나 옵션 (4)는 매력적입니다. 만약 우리가 무엇을 측정 할 수 없는지에 대한 이론을 개발한다면, 우리는이 문제에 대해 잘 정의 된 확률을 갖게 될 것입니다! 이것은 우리에게 이론과 우리의 친구 대수 를 측정하게 합니다.σ


5
답변 주셔서 감사합니다. 은 측정 가능한 Lebesque를 의미합니까? 나는 믿음에 대한 당신의 대답을 +1 하겠지만, 당신이 수학 수준을 몇 가지 노치로 낮출 수 있다면 정말 고맙겠습니다 ... :-)L
Antoni Parellada

7
(+1) 좋은 포인트! 또한 Borel-Kolmogorov 역설 에서 볼 수 있듯이 측정 및 대수를 사용하면 셀 수없는 공간에서 조건부 분포를 조절하고 유도하는 것이 상당히 털이 있습니다. σ
Xi'an

2
@ Xi'an 친절한 단어 감사합니다! 정말 많은 것을 의미합니다. 나는이 글을 쓰는 시점에서 Borel-Kolmogorov 역설에 익숙하지 않았지만, 약간의 독서를하고 내가 찾은 내용을 유용하게 추가 할 수 있는지 알아볼 것입니다.
Sycorax

3
@ 학생 001 : 우리가 머리카락을 나누고 있다고 생각합니다. "측정"(모든 측정 값)에 대한 일반적인 정의는 시그마 대수 개념을 사용하여 제공됩니다. 그러나 나의 요점은 나의 첫 번째 링크에서 제공되는 Lebesgue 측정의 정의에 "시그마 대수"라는 단어 나 개념이 없다는 것입니다. 다시 말해, 첫 번째 링크에 따라 Lebesgue 측정 값을 정의 할 수 있지만 측정 값 이며 어려운 부분임을 보여줘야합니다 . 그래도이 논의를 중단해야한다는 데 동의합니다.
amoeba

3
나는 당신의 대답을 읽는 것을 정말로 즐겼습니다. 나는 당신에게 감사하는 방법을 모르지만, 당신은 많은 것을 분명히했습니다! 나는 실제 분석을 공부하거나 수학에 대한 적절한 소개를 한 적이 없습니다. 실제 구현에 많은 초점을 둔 전기 공학 배경에서 왔습니다. 당신은 저와 같은 말이 그것을 이해할 수 있도록 매우 간단한 용어로 작성했습니다. 귀하의 답변과 귀하가 제공 한 단순함에 진심으로 감사드립니다. 또한 그의 의견에 대해 @ Xi'an에게 감사드립니다!
Zushauque

19

[0,18),[18,25),[25,34),(Ω,F)F[18,25)[20,30)[20,30)F

(Ω,F)f:f1(1)Ff

FFABABAB. 이제 수많은 교차로와 노조에 폐쇄성을 요구하면 수많은 연결부 또는 분리 점을 요청할 수 있습니다. 그리고 질문을 부정하는 것은 보완적인 세트로 표현됩니다. 그것은 우리에게 시그마 대수를 제공합니다.

Peter Whittle의 "좋은 기대를 통한 확률"(Springer)이라는 훌륭한 책에서 이런 종류의 소개를 먼저 보았습니다.

편집하다

iiσσnσnσ

그러나 우리는 정말로 많은 수의 강력한 법칙이 필요합니까? 하나의 대답 에 따르면 , 아닐 수도 있습니다.

nn

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4
이 답변이 왜 필드가 필요한지를 보여주지 않는다고 생각 합니다. P 에 대답 할 수있는 편리함σP(A)[20,30)P(A)[20,30)P(A)[18,34)잘 정의되어 있으므로이 예제가 원하는 것을 보여주는 것은 확실하지 않습니다.
Sycorax

5
σσ

2
σ

3
나는 당신의 주장이 건전하다고 생각합니다. 그러나 나는이 주장에 직면했을 때 조금 뒤처졌다. "수 많은 교차로와 노조에 대한 폐쇄를 요구하면 수많은 연결점이나 분리 점을 요청할 수있다." 이것은 문제의 중심에있는 것 같습니다 : 왜 누군가가 그렇게 복잡한 이벤트를 구성하고 싶습니까? 그것에 대한 좋은 대답은 게시물의 나머지 부분을 더 설득력있게 만듭니다.
whuber

2
실제 사용 : 재무 수학에 사용 된 확률 및 측정 이론 (확률 론적 미분 방정식, 이토 적분, 대수의 여과 등)은 시그마 대수 없이는 불가능한 것처럼 보입니다. (귀하의 답변에 이미 투표했기 때문에 편집 내용을
공표

2

σ

공리 σA(에이)

첫 번째 원칙은 ∅, 𝑋∈𝜎입니다. 글쎄, 당신은 항상 아무 일도 일어나지 않을 확률을 알고 있습니다 (0).

두 번째 공리는 보완으로 폐쇄됩니다. 어리석은 예를 들어 보겠습니다. 다시, 𝑋 = {𝐻, 𝐻}와 함께 동전 뒤집기를 고려하십시오. 이 플립에 대한 𝜎 대수는 {∅, 𝑋, {.}}입니다. 즉, NOTHING 발생, SOMETHING 발생 및 헤드 가능성을 알고 있지만 테일 가능성을 모릅니다. 당신은 저를 바보라고 부를 것입니다. 머리의 확률을 알면 꼬리의 확률을 자동으로 알 수 있습니다! 당신은 어떤 일이 일어날 확률을 안다면, 당신은 그것이 일어나지 않을 확률을 알고 있습니다 (보완)!

마지막 원칙은 셀 수있는 노동 조합에 의해 폐쇄된다. 또 다른 어리석은 예를 들어 보겠습니다. 주사위 굴림 또는 𝑋 = {1,2,3,4,5,6}을 고려하십시오. 이 대수를 말해 주면 {∅, 𝑋, {1}, {2}}입니다. 즉, 나는 1을 굴 리거나 2를 굴릴 확률을 알고 있지만 1 또는 2를 굴릴 확률을 알지 못합니다. 다시, 당신은 저를 바보라고 부를 것입니다 (이유가 분명하기를 바랍니다). 세트가 분리되지 않았을 때 발생하는 일과 셀 수없는 조합에서 발생하는 일이 조금 더 복잡하지만 몇 가지 예를 생각해 볼 수 있기를 바랍니다.

σ

글쎄, 그것은 완전히 깨끗한 사례는 아니지만 몇 가지 확실한 이유가 있습니다.

왜 아기에게 조치가 필요한가요?

σσ

사람들은 측정 이론이 필요한 이유를 설명하기 위해 Vitali의 세트와 Banach-Tarski를 가져 오지만 오해소지가 있다고 생각합니다 . Vitali의 세트는 변환 불변 인 (사소하지 않은) 측정 값에 대해서만 사라지며 확률 공간에는 필요하지 않습니다. Banach-Tarski는 회전 불변성을 필요로합니다. 분석 사람들은 그들에 대해 관심을 가지고 있지만 실제로 는 그렇지 않습니다 .

존재 이유 확률 이론의 측정 이론은 단순히 어느 쪽도 있습니다 혼합의 RV와의 RV 수 있도록, 또한 이산과 연속의 RV의 치료를 통합,하는 것입니다.


σσ
Sycorax
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