샘플 공간 형성하는 다른 결과에 대한 무작위 실험 이 있는데, 이벤트 라는 특정 패턴에 관심을시그마 대수 (또는 시그마 필드) 는 확률 측정 지정할 수있는 이벤트로 구성 됩니다. 널 세트 및 전체 샘플 공간을 포함하고 벤 다이어그램과의 결합 및 교차를 설명하는 대수를 포함하여 특정 특성이 충족 됩니다. $\Omega,$F . P ∅ $\mathscr{F}.$ $\mathbb{P}$$\varnothing$

확률은 algebra와 구간 사이의 함수로 정의됩니다 . 전체적으로 트리플 은 확률 공간을 형성합니다 .$\sigma$$[0,1]$$(\Omega, \mathscr{F}, \mathbb{P})$

누군가 -algebra 가 없다면 확률 건물이 무너지는 이유를 일반 영어로 설명 할 수 있습니까? 그들은 단지 붓글씨 "F"로 중간에 갇혀 있습니다. 나는 그들이 필요하다고 믿습니다. 이벤트가 결과와 다르지만 -algebras 없이는 무엇이 잘못 될까요?$\sigma$$\sigma$

문제는 : 어떤 유형의 확률 문제에서 -algebra를 포함한 확률 공간의 정의 가 필수가 되는가?$\sigma$

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Dartmouth University 웹 사이트의이 온라인 문서 는 영어로 쉽게 액세스 할 수있는 설명을 제공합니다. 아이디어는 단위 둘레 의 원에서 시계 반대 방향으로 회전하는 회전 포인터입니다 .

우리는 그림과 같이 단위 원주와 포인터로 구성된 스피너를 구성하여 시작합니다. 우리는 원에 지점을 선택하고 레이블을 , 다음의 거리 원에 다른 모든 점에 레이블을 말할 에서, 시계 반대 방향으로 측정 된 점은. 실험은 포인터를 회전시키고 포인터 끝에서 점의 레이블을 기록하는 것으로 구성됩니다. 랜덤 변수 가이 결과의 값을 나타내도록합니다. 샘플 공간은 분명한 간격입니다$0$$x$$0$$X$$[0,1)$0 0 0 0 1. 각 결과가 똑같이 발생할 확률 모델을 구성하려고합니다. 한정된 수의 가능한 결과를 가진 실험에 대해 [...]와 같이 진행 하면 각 결과에 확률 을 할당해야합니다. 그렇지 않으면 가능한 모든 결과에 대한 확률의 합이 사실 1, 셀 수없는 실수를 합산하는 것은 까다로운 사업입니다. 특히 이러한 합이 어떤 의미를 갖기 위해서는 대부분의 합병 수는 대부분 과 다를 수 있습니다 . 할당 된 모든 확률은 후 합이고, 이 아닌 로해야.$0$$0$$0$$0$$1$

따라서 각 점에 확률을 할당하고 무한한 수의 점이 있다고 가정하면 그 합은 됩니다.$> 1$

시안의 첫 번째 요점 : 대수 에 대해 이야기 할 때 측정 가능한 세트에 대해 묻는 것이므로 불행히도 모든 대답은 측정 이론에 중점을 두어야합니다. 그래도 부드럽게 만들려고 노력할 것입니다.$\sigma$

셀 수없는 집합의 모든 부분 집합을 인정할 확률 이론은 수학을 깨뜨릴 것이다

이 예를 고려하십시오. 단위 제곱이 있고 단위 제곱에서 특정 세트의 구성원 인 점을 무작위로 선택할 가능성에 관심이 있다고 가정하십시오 . 많은 상황에서, 이것은 서로 다른 세트의 영역을 비교하여 쉽게 대답 할 수 있습니다. 예를 들어 원을 그리고 면적을 측정 한 다음 원 안에 떨어지는 사각형의 비율로 확률을 취할 수 있습니다. 매우 간단합니다.$\mathbb{R}^2$

그러나 관심 영역의 영역이 명확하지 않은 경우 어떻게해야합니까?

영역이 잘 정의되어 있지 않으면 영역이 무엇인지에 대해 두 가지 상이하지만 완전히 유효한 (어떤 의미에서) 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 이고 P ( A ) = 0 이면 0 = 1 을 의미 합니다. 이것은 수리를 넘어 모든 수학을 깨뜨립니다. 이제 5 < 0 및 기타 여러 터무니없는 것들을 증명할 수 있습니다 . 분명히 이것은 너무 유용하지 않습니다.$P(A)=1$$P(A)=0$$0=1$$5<0$

대수는 수학을 수정하는 패치입니다$\sigma$

정확히 대수 란 무엇입니까 ? 실제로 그렇게 무서운 것은 아닙니다. 이벤트로 간주 될 수있는 집합에 대한 정의 일뿐입니다. F가 아닌 요소 에는 정의 된 확률 측정 값이 없습니다. 기본적으로 σ- 대수는 "패치"로, 수학의 병리학 적 행동, 즉 측정 불가능한 세트를 피할 수있게합니다.$\sigma$$\mathscr{F}$$\sigma$

필드 의 세 가지 요구 사항은 우리가 확률로하려는 결과의 결과로 간주 될 수 있습니다. σ 필드는 세 가지 속성을 가진 집합입니다.$\sigma$$\sigma$

1. 셀 수있는 노동 조합의 폐쇄.
2. 셀 수있는 교차로에서 폐쇄.
3. 보완 아래 폐쇄.

계산 가능한 조합 및 계산 가능한 교차점 구성 요소는 측정 불가능한 세트 문제의 직접적인 결과입니다. 보완 아래 클로저 콜 모고 로프 공리의 결과이다 : 만약 , P ( 에어콘 ) 하여야 할 1 / 3 . 그러나 (3)이 없으면 P ( A c ) 가 정의되지 않을 수 있습니다. 이상 할 것입니다. 보체와 콜 모고 로프 공리의 폐쇄는 P ( A ∪ A c ) = P $P(A)=2/3$$P(A^c)$$1/3$$P(A^c)$ 입니다.$P(A\cup A^c)=P(A)+1-P(A)=1$

마지막으로, 우리는 과 관련된 이벤트를 고려 하고 있으므로 Ω ∈ $\Omega$$\Omega\in\mathscr{F}$

희소식 : 대수는 셀 수없는 세트에만 엄격하게 필요합니다$\sigma$

그러나! 여기에도 좋은 소식이 있습니다. 또는 적어도 문제를 해결하는 방법입니다. 계산할 수없는 카디널리티가있는 세트에서 작업하는 경우 대수 만 필요합니다 . 우리가 셀 수있는 집합에 자신을 제한하면, 우리가 취할 수있는 F = 2 Ω에게 의 힘 세트 Ω을 우리가 때문에 셀 수에 대한 이러한 문제가되지 않습니다 Ω , 2 Ω는 단지 측정 세트로 구성되어 있습니다. (이것은 시안의 두 번째 주석에서 암시됩니다.) 일부 교과서는 실제로 여기서 미묘한 엉뚱한 것을 저지르고 확률 공간을 논의 할 때 셀 수있는 세트 만 고려한다는 것을 알 수 있습니다.$\sigma$$\mathscr{F}=2^\Omega$$\Omega$$\Omega$$2^\Omega$

또한, 기하 문제에서 L n 측정 값이 정의 된 세트로 구성된 σ 대수 만 고려하면 충분합니다 . 이것을 좀 더 견고하게 접지하기 위해, n = 1 , 2 , 3에 대한 L n 은 길이, 면적 및 부피의 일반적인 개념에 해당합니다. 이전 예제에서 말한 것은 세트에 기하학적 확률이 할당되도록 잘 정의 된 영역이 있어야한다는 것입니다. 그리고 그 이유는 이것입니다 : 측정 할 수없는 세트를 인정하면, 증거에 따라 확률 1을 어떤 사건에 할당하고 확률 0을$\mathbb{R}^n$$\sigma$$\mathcal{L}^n$$\mathcal{L}^n$$n=1,2,3$다른 증거를 기반으로 한 동일한 이벤트 이벤트.

그러나 셀 수없는 세트와의 연결이 혼동되지 않도록하십시오! 대수는 셀 수있는 집합 이라는 일반적인 오해입니다 . 실제로, 그들은 셀 수 있거나 셀 수 없습니다. 이 그림을 고려하십시오. 전과 마찬가지로 단위 사각형이 있습니다. 정의 F = 정의와 단위 사각형의 모든 부분 집합  L 2  측정 . 모든 s side ( 0 , 1 )에 대해 측면 길이 s 를 사용 하고 ( 0 , 0 )에 모서리가 하나 인 정사각형 B 를 그릴 수 있습니다.$\sigma$

$$\mathscr{F}=\text{All subsets of the unit square with defined $\mathcal{L}^2$ measure}.$$ $B$$s$$s \in (0,1)$$(0,0)$. 이 정사각형은 단위 정사각형의 하위 집합이라는 것이 분명해야합니다. 또한이 모든 사각형은 면적을 정의하므로이 사각형은 요소입니다 . 그러나 많은 수의 제곱 B 가 있음을 분명히해야합니다 . 이러한 제곱의 수 는 헤아릴 수 없으며 각 제곱은 Lebesgue 측정을 정의했습니다.$\mathscr{F}$$B$

따라서 실제로는 단순히 관찰만으로도 관심있는 문제에 맞서기 위해 Lebesgue 측정 가능 세트 만 고려한다는 관찰을하기에 충분합니다.

그러나 측정 할 수없는 세트는 무엇입니까?

나는 이것에 대해 약간의 빛만 비출 까봐 두렵다. 그러나 Banach-Tarski 역설 (때로는 "태양과 완두콩"역설)이 우리에게 도움이 될 수 있습니다.

3 차원 공간에 단단한 공이 주어지면 공을 유한 한 수의 분리 된 부분 집합으로 분해 한 다음 다른 방법으로 다시 조합하여 원래 공의 동일한 사본 두 개를 산출 할 수 있습니다. 실제로, 재 조립 프로세스는 형태를 바꾸지 않고 조각들을 이동시키고 회전시키는 것을 포함한다. 그러나 조각 자체는 일반적인 의미에서 "고체"가 아니라 점의 무한한 산란입니다. 재구성은 5 개 정도의 작은 조각으로 작동 할 수 있습니다.

더 강력한 형태의 정리는 두 개의 "합리적인"단단한 물체 (예 : 작은 공 및 큰 공)가 주어지면 둘 중 하나가 다른 것으로 재 조립 될 수 있음을 의미합니다. 이것은 종종 "완두콩을 자르고 햇볕에 재 조립할 수있다"고 "완두콩과 태양의 역설"이라고 불린다. 1

따라서 에서 확률로 작업 하고 기하학적 확률 측정 (볼륨 비율)을 사용하는 경우 일부 이벤트의 확률을 계산하려고합니다. 그러나 공간 세트를 재정렬하여 볼륨을 변경할 수 있기 때문에 확률을 정확하게 정의하기 어려울 것입니다! 확률이 부피에 의존하고 세트의 부피를 태양의 크기 또는 완두콩의 크기로 변경할 수 있으면 확률도 변경됩니다. 따라서 어떤 사건도 단일 확률로 인해 발생하지 않습니다. 더 나쁜, 당신은 다시 정렬 할 수 있습니다 S ∈ Ω이 의 볼륨하도록 S는 이 V를 ( S ) > V ( Ω $\mathbb{R}^3$$S\in\Omega$$S$$V(S)>V(\Omega)$이는 확률이 측정 1을 요구하는 Kolmogorov 공리의 명백한 위반에서 기하 확률 측정이 확률 보고 함을 의미합니다 .$P(S)>1$

이 역설을 해결하기 위해 네 가지 양보 중 하나를 할 수 있습니다.

1. 회전하면 세트의 볼륨이 변경 될 수 있습니다.
2. 두 개의 분리 세트의 결합 체적은 체적의 합과 다를 수 있습니다.
3. Zermelo-Fraenkel의 원칙은 선택의 원칙 (ZFC)으로 이론을 변경해야 할 수도 있습니다.
4. 일부 세트에는 "측정 불가능"으로 태그가 지정 될 수 있으며, 볼륨에 대해 이야기하기 전에 세트가 "측정 가능"인지 확인해야합니다.

옵션 (1)은 확률을 정의하는 데 도움이되지 않으므로 제외됩니다. 옵션 (2)는 두 번째 Kolmogorov 공리를 위반하므로 제외됩니다. 옵션 (3)은 ZFC가 생성하는 것보다 훨씬 많은 문제를 해결하기 때문에 끔찍한 생각처럼 보입니다. 그러나 옵션 (4)는 매력적입니다. 만약 우리가 무엇을 측정 할 수 없는지에 대한 이론을 개발한다면, 우리는이 문제에 대해 잘 정의 된 확률을 갖게 될 것입니다! 이것은 우리에게 이론과 우리의 친구 대수 를 측정하게 합니다.$\sigma$

$[0,18), [18, 25), [25,34), \dots$$(\Omega,F)$$F$$[18,25)$$[20,30)$$[20,30)$$F$

$(\Omega', F')$$f:$$f^{-1}(1)$$F$$f$

$F$$F$$A$$B$$A \cap B$$A \cup B$. 이제 수많은 교차로와 노조에 폐쇄성을 요구하면 수많은 연결부 또는 분리 점을 요청할 수 있습니다. 그리고 질문을 부정하는 것은 보완적인 세트로 표현됩니다. 그것은 우리에게 시그마 대수를 제공합니다.

Peter Whittle의 "좋은 기대를 통한 확률"(Springer)이라는 훌륭한 책에서 이런 종류의 소개를 먼저 보았습니다.

편집하다

$i$$i$$\sigma$$\sigma$$n$$\sigma$$n$$\sigma$

그러나 우리는 정말로 많은 수의 강력한 법칙이 필요합니까? 하나의 대답 에 따르면 , 아닐 수도 있습니다.

$n$$n$

$\sigma$

$\sigma$

공리 $\sigma$$A \cup B$$(A\cup B)\cap C$

첫 번째 원칙은 ∅, 𝑋∈𝜎입니다. 글쎄, 당신은 항상 아무 일도 일어나지 않을 확률을 알고 있습니다 (0).

두 번째 공리는 보완으로 폐쇄됩니다. 어리석은 예를 들어 보겠습니다. 다시, 𝑋 = {𝐻, 𝐻}와 함께 동전 뒤집기를 고려하십시오. 이 플립에 대한 𝜎 대수는 {∅, 𝑋, {.}}입니다. 즉, NOTHING 발생, SOMETHING 발생 및 헤드 가능성을 알고 있지만 테일 가능성을 모릅니다. 당신은 저를 바보라고 부를 것입니다. 머리의 확률을 알면 꼬리의 확률을 자동으로 알 수 있습니다! 당신은 어떤 일이 일어날 확률을 안다면, 당신은 그것이 일어나지 않을 확률을 알고 있습니다 (보완)!

마지막 원칙은 셀 수있는 노동 조합에 의해 폐쇄된다. 또 다른 어리석은 예를 들어 보겠습니다. 주사위 굴림 또는 𝑋 = {1,2,3,4,5,6}을 고려하십시오. 이 대수를 말해 주면 {∅, 𝑋, {1}, {2}}입니다. 즉, 나는 1을 굴 리거나 2를 굴릴 확률을 알고 있지만 1 또는 2를 굴릴 확률을 알지 못합니다. 다시, 당신은 저를 바보라고 부를 것입니다 (이유가 분명하기를 바랍니다). 세트가 분리되지 않았을 때 발생하는 일과 셀 수없는 조합에서 발생하는 일이 조금 더 복잡하지만 몇 가지 예를 생각해 볼 수 있기를 바랍니다.

$\sigma$

글쎄, 그것은 완전히 깨끗한 사례는 아니지만 몇 가지 확실한 이유가 있습니다.

왜 아기에게 조치가 필요한가요?

$\sigma$$\sigma$$P$

사람들은 측정 이론이 필요한 이유를 설명하기 위해 Vitali의 세트와 Banach-Tarski를 가져 오지만 오해 의 소지가 있다고 생각합니다 . Vitali의 세트는 변환 불변 인 (사소하지 않은) 측정 값에 대해서만 사라지며 확률 공간에는 필요하지 않습니다. Banach-Tarski는 회전 불변성을 필요로합니다. 분석 사람들은 그들에 대해 관심을 가지고 있지만 실제로 는 그렇지 않습니다 .

존재 이유 확률 이론의 측정 이론은 단순히 어느 쪽도 있습니다 혼합의 RV와의 RV 수 있도록, 또한 이산과 연속의 RV의 치료를 통합,하는 것입니다.