Frisch-Waugh 정리의 유용성

나는 내가 연구하지 않은 계량 경제학에서 프리쉬 우어 정리를 가르치기로되어있다.

나는 그 배후의 수학을 이해했으며 아이디어가 "여러 선형 모델에서 특정 계수에 대해 얻는 계수가 다른 회귀 변수의 영향을"제거 "하는 경우 단순 회귀 모형의 계수와 동일하기를 바랍니다. 이론적 아이디어는 멋지다. (내가 완전히 오해하면 정정을 환영합니다)

그러나 일부 고전적 / 실제적인 사용법이 있습니까?

편집 : 나는 대답을 받아 들였지만 여전히 다른 예제 / 응용 프로그램을 가져 오는 새로운 것을 가질 수 있습니다.

LDSV (Least Squares Dummy Variables) 모델이라고도하는 고정 효과 패널 데이터 모델을 고려하십시오.

y = X β + D α + ϵ , D N T × N $b_{LSDV}$ 는 모델 OLS를 직접 적용하여 계산할 수 있습니다 여기서 는 인형 의 행렬이고 는 개별 특정 고정 효과를 나타냅니다.

$$y=X\beta+D\alpha+\epsilon,$$ $D$$NT\times N$$\alpha$

를 계산하는 또 다른 방법 은 소위 변형 된 버전을 얻기 위해 소위 변환 내 소위 를 일반적인 모델에 적용하는 것입니다. 즉 여기에서 는 에 대한 회귀의 잔차 메이커 행렬입니다 . M [ D ] y = M [ D ] X β + M [ D ] ϵ . M [ D가 ] = I를 - D ( D ' D ) - 1 D '$b_{LSDV}$

$$M_{[D]}y=M_{[D]}X\beta+M_{[D]}\epsilon.$$ $M_{[D]}=I-D(D'D)^{-1}D'$$D$

Frisch-Waugh-Lovell 정리에 따르면 FWL은 회귀 계수 (여기서 ) 의 회귀 계수 하위 집합을 계산할 수 있다고 말하면서 두 개는 동일 합니다.$\hat\beta$

1. 나머지 회귀 변수 (여기서는 )에서 를 회귀 하고 잔차 (여기서 상수에 대한 회귀는 변수를 무시하기 때문에 시간을 의미하는 또는 )를 저장 한 다음$y$$D$$y$$M_{[D]}y$
2. 에서 를 회귀하고 잔차 를 저장하고$X$$D$$M_{[D]}X$
3. 에서 에 잔차를 서로 회귀 분석합니다 .$M_{[D]}y$$M_{[D]}X$

두 번째 버전은 일반적인 패널 데이터 세트가 수천 개의 패널 단위 가질 수 있기 때문에 훨씬 널리 사용 되므로 첫 번째 방법에서는 수천 개의 회귀 분석 도구를 사용하여 회귀를 실행해야합니다. 컴퓨터는 의 역을 계산하는 것은 매우 비싸지 만, 시간을 의미하는 와 는 비용이 거의 들지 않습니다.$N$$(D :X)'(D: X)$$y$$X$

다음은 첫 번째 답변의 단순화 된 버전입니다. 실제로는 덜 관련이 있지만 교실 사용을 위해 쉽게 팔 수 있습니다.

회귀 분석 및 동일한 , 합니다. 다음과 같이 볼 수 있습니다 : 따라서 그래서 따라서 상수 에서 변수의 회귀 잔차

$$y_i = \beta_1 + \sum_{j=2}^K\beta_jx_{ij} + \epsilon_i$$ $$y_i-\bar{y} = \sum^K_{j=2}\beta_j(x_{ij} - \bar{x}_j) + \tilde{\epsilon}_i$$ $\widehat{\beta}_j$$j=2,\ldots,K$$\mathbf{x}_1=\mathbf{1}:=(1,\ldots,1)'$ $$M_\mathbf{1}=I-\mathbf{1}(\mathbf{1}'\mathbf{1})^{-1}\mathbf{1}'=I-\frac{\mathbf{1}\mathbf{1}'}{n},$$ $$M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1} n^{-1}\mathbf{1}'\mathbf{x}_j=\mathbf{x}_j-\mathbf{1}\bar{x}_j=:\mathbf{x}_j-\bar{\mathbf{x}}_j.$$ $M_{\mathbf{1}}\mathbf{x}_j$는 의미가없는 변수 입니다 (물론 동일한 논리가 ).$y_i$

여기에 또 다른 간접적 인 것이 있지만, 나는 흥미로운 하나, 즉 정지 시계열의 부분 자기 상관 계수를 계산하기위한 서로 다른 접근법 사이의 연결을 믿습니다.

정의 1

프로젝션 번째 부분 자기 상관 동일 .

$$\begin{equation} \hat{Y}_{t}-\mu=\alpha^{(m)}_1(Y_{t-1}-\mu)+\alpha^{(m)}_2(Y_{t-2}-\mu)+\ldots+\alpha^{(m)}_m(Y_{t-m}-\mu) \end{equation}$$ $m$$\alpha^{(m)}_m$

그것은 이렇게의 영향을 준다 에 지연 제 {위해 조절하여} \ emph . 이것을 과 대조하면 와 의 '원시'상관 관계를 제공합니다 .$m$$Y_t$$Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$$\rho_m$$Y_t$$Y_{t-m}$

는 어떻게 찾 습니까? 중 회귀의 기본적인 속성 리콜 회귀에 계수는 회귀 및 잔여 무상관이되도록되어 있다는 것이다. 모집단 회귀 분석에서이 조건은 모집단 상관 관계로 표시됩니다. 그러면 : 풀면 우리는 발견 선형 투영 계수 적용을 이 수식을 및$\alpha^{(m)}_j$$Z_t$$X_t$

$$\begin{equation} E[X_t(Z_t-X_t^\top\mathbf{\alpha}^{(m)})]=0 \end{equation}$$ $\mathbf{\alpha}^{(m)}$ $$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=[E(X_tX_t^\top)]^{-1}E[X_tZ_t] \end{equation}$$ $Z_t=Y_t-\mu$ $$X_t=[(Y_{t-1}-\mu),(Y_{t-2}-\mu),\ldots,(Y_{t-m}-\mu)]^\top$$ 우리는 또한 따라서 $$E(X_tX_t^\top)=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)$$ $$E(X_tZ_t)=\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)$$ mα(m $$\begin{equation} \mathbf{\alpha}^{(m)}=\left(\begin{array}{cccc} \gamma_{0} & \gamma_{1}&\cdots& \gamma_{m-1}\\ \gamma_{1}& \gamma_{0} & \cdots &\gamma_{m-2}\\ \vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\ \gamma_{m-1}&\gamma_{m-2} & \cdots & \gamma_{0}\\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} \gamma_1 \\ \vdots \\ \gamma_m \\ \end{array} \right)\end{equation}$$ 부분 상관 번째 다음 벡터의 마지막 요소 .$m$$\mathbf{\alpha}^{(m)}$

따라서 우리는 일종의 다중 회귀 분석을 수행하고 하나의 관심 계수를 찾고 다른 계수를 제어합니다.

정의 2

부분 상관 번째는 예측 오차의 상관 관계 으로 예측 의 예측 오차 예측할 .Y t + m Y t - 1 , … , Y t − m + 1 Y t Y t - 1 , … , Y t − m + $m$$Y_{t+m}$$Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$$Y_{t}$$Y_{t-1},\ldots,Y_{t-m+1}$

따라서 중간 지연에 대한 첫 번째 제어를 수행 한 다음 잔차의 상관 관계를 계산합니다.