평신도의 관점에서 모델과 분포의 차이점은 무엇입니까?

Wikipedia에 정의 된 답변 (정의)은 아마도 수학 / 통계에 익숙하지 않은 사람들에게는 약간의 암호입니다.

수학적 용어로, 통계 모델은 일반적으로 쌍 ( ) 으로 생각되며 , 여기서 S 는 가능한 관측치 세트, 즉 샘플 공간이고 P 는 S 의 확률 분포 세트입니다 .$S, \mathcal{P}$$S$$\mathcal{P}$$S$

확률 및 통계에서 확률 분포는 확률 실험에서 임의의 실험, 조사 또는 통계적 추론 절차의 가능한 결과 중 각 측정 가능한 하위 집합에 확률을 할당합니다. 표본 공간이 숫자가 아닌 예가 있으며, 여기서 분포는 범주 형 분포입니다.

저는이 분야에 취미로 관심이 많은 고등학생이며 현재 a statistical model와 a 의 차이점으로 어려움을 겪고 있습니다 .probability distribution

내 현재의 매우 기초적인 이해는 다음과 같습니다.

• 통계 모델은 측정 된 분포를 근사화하려는 수학적 시도입니다.

• 확률 분포는 확률을 랜덤 이벤트의 각 가능한 결과에 할당하는 실험의 설명입니다.

혼동은 문헌에서 "분포"와 "모델"이라는 단어가 상호 교환 적으로 사용되거나 최소한 매우 유사한 상황 (예 : 이항 분포 대 이항 모델)을 보는 경향에 의해 더욱 복잡해집니다.

누군가 내 정의를 확인 / 수정하고 이러한 개념에 대해 공식화 된 (단순한 영어로도) 접근 방식을 제공 할 수 있습니까?

확률 분포 는 랜덤 변수를 설명하는 수학 함수입니다. 좀 더 정확하게는 확률을 숫자에 할당하는 함수이며 출력은 확률 공리 와 일치해야합니다 .

통계 모델은 확률 분포를 사용하여 수학 용어로 일부 현상에 대한 추상적이고 이상적인 설명입니다. 인용 구장 (2013) :

$\mathfrak{F}$$\mathfrak{F}$

일반적으로 파라 메트릭 모델은

$$\mathfrak{F} = \{ f (x; \theta) : \theta \in \Theta \}$$

$\theta$ $\Theta$$\theta$$\theta$$\mathfrak{F}$

대부분의 경우 분포 를 모델 로 사용 합니다 ( 이 예제를 확인할 수 있음 ). 이항 분포 를 일련의 동전 던지기에서 헤드 수의 모델 로 사용할 수 있습니다 . 이 경우이 분포는 실제 결과를 단순화 된 방식으로 설명한다고 가정합니다. 이것은 이것이 당신이 그러한 현상을 묘사 할 수있는 유일한 방법임을 의미하는 것은 아니며, 이항 분포가이 목적으로 만 사용될 수있는 것도 아닙니다. 모델은 하나 이상의 분포를 사용할 수있는 반면 베이지안 모형 은 이전 분포도 지정합니다.

더 공식적으로 이것은 McCullaugh (2002)에 의해 논의되었습니다.

$\mathcal{S}$$\Theta$$P : \Theta \rightarrow \mathcal{P} (\mathcal{S})$$\mathcal{\theta \in \Theta}$$P \theta$$\mathcal{S}$$\mathcal{P}(\mathcal{S})$$\mathcal{S}$$P : \Theta \rightarrow \mathcal{P} (\mathcal{S})$$P\Theta \subset \mathcal{P} (\mathcal{S})$

따라서 통계 모델 은 확률 분포를 사용 하여 데이터를 용어로 설명합니다. 파라 메트릭 모델은 또한 유한 매개 변수 세트로 설명됩니다.

그렇다고 모든 통계적 방법에 확률 분포가 필요한 것은 아닙니다. 예를 들어, 선형 회귀는 종종 정규성 가정의 관점에서 설명 되지만 실제로는 정규성에서 벗어나기에는 매우 강력하며 신뢰 구간 및 가설 검정에 대한 오차의 정규성에 대한 가정이 필요합니다. 따라서 회귀가 작동하려면 이러한 가정이 필요하지 않지만 통계 모델을 완전히 지정하려면 임의 변수 로 설명해야 합니다.확률 분포가 필요합니다. 나는 사람들이 데이터에 회귀 모델을 사용했다는 말을 자주들을 수 있기 때문에 이것에 대해 글을 씁니다. 대부분의 경우 조건 조건을 주장하는 것보다 일부 매개 변수를 사용하여 대상 값과 예측 변수 간의 선형 관계 측면에서 데이터를 설명한다는 의미입니다 정상.

McCullagh, P. (2002). 통계 모델이란 무엇입니까? 통계의 연재 , 1225-1267.

Wasserman, L. (2013). 모든 통계 : 통계적 추론의 간결한 과정. 봄 병아리.

$\mathcal{S}$

$\mathbb{P}$

번호 가 티켓 에 일관된 방식으로 기록 되면 (확률) 분포가 발생합니다. 확률 분포가 단순히 숫자 주어진 구간 내에있는 상자에 티켓의 비율을 설명한다.

$\mathcal{P}$$\mathcal{P}$

$y$$0$$100$

$0$$100$

$0$$100$$y_0$$y_{100}$$y_0$$y_{100}$관찰 은 실험에서 관찰 가능한 결과를 나타냅니다 . 상자에 이러한 각 티켓 세트가 있습니다 . 주어진 속도 상수에 대해 관찰 할 수 있는 확률 모델 입니다 .

$y_0$$y_{100}$

$y_0$$y_{100}$

각 티켓에 기록 된 관측 값은 숫자이므로 확률 분포가 발생합니다. 박스에 대한 가정은 일반적으로 평균이 0이되어야하는지, 대칭이되어야하는지, "벨 곡선"모양을 가지고 있는지, 상관이 없는지 등과 같은 분포의 특성 측면에서 표현됩니다.

그게 전부입니다. 프리미티브 12 톤 스케일이 모든 서양 클래식 음악을 불러 일으킨 것처럼, 티켓이 들어있는 박스 모음은 매우 풍부하고 복잡한 방식으로 사용될 수있는 단순한 개념입니다. 코인 플립에서부터 비디오 라이브러리, 웹 사이트 상호 작용 데이터베이스, 양자 역학 앙상블 및 관찰 및 기록 할 수있는 모든 것에 이르기까지 거의 모든 것을 모델링 할 수 있습니다.

$\pi$

일반적인 모수 통계 모델은 분포의 모수 (들)가 요인 (이산 값을 갖는 변수) 및 공변량 (연속 변수)과 같은 특정 요소에 어떻게 의존하는지 설명합니다. 예를 들어, 정규 분포에서 평균을 고정 수 ( "절편")와 공변량 값의 몇배 ( "회귀 계수")로 설명 할 수 있다고 가정하면 정규 분포 오차 조건. 이항 분포의 경우 일반적으로 사용되는 모형 ( "물류 회귀")$\pi$$\pi/(1-\pi)$$\text{intercept}+\beta_1 \text{covariate}_1+\ldots$

확률 분포는 임의의 수량 변동 방법에 대한 모든 정보를 제공합니다. 실제로 우리는 일반적으로 관심 수량의 전체 확률 분포가 없습니다. 우리는 그것에 대해 모든 것을 알고 있다고 생각하거나 가정하지 않고 그것에 대해 무언가를 알고 가정 할 수 있습니다. 예를 들어, 일부 수량은 정규 분포이지만 평균과 분산에 대해서는 아무것도 모릅니다. 그런 다음 배포판 중에서 선택할 수있는 후보 모음이 있습니다. 이 예에서는 가능한 모든 정규 분포입니다. 이 분포 모음은 통계 모델을 형성합니다. 우리는 데이터를 수집 한 다음 후보 클래스를 제한하여 나머지 모든 후보가 적절한 의미에서 데이터와 일치하도록합니다.

모델은 PDF로 지정되지만 PDF는 아닙니다.

확률 분포 (PDF)는 숫자에 확률을 할당하는 함수이며 Tim의 설명 과 같이 결과는 확률의 공리와 일치해야합니다 .

모델은 확률 분포에 의해 완전히 정의되지만 그 이상입니다. 동전 던지기 예에서, 우리의 모델은 "동전이 공평합니다"+ "각 던지기는 독립적입니다". 이 모델은 p = 0.5 인 이항 PDF로 지정됩니다.

$P(x_1, x_2, x_3, ...)$

모델과 PDF의 한 가지 차이점은 모델을 통계 가설로 해석 할 수 있다는 것입니다. 예를 들어, 동전 던지기에서 동전이 공평하고 (p = 0.5), 각 던지기가 독립적 (이항) 인 모델을 고려할 수 있으며, 이것이 우리의 가설이라고 말하며 경쟁 가설에 대해 테스트하려고합니다. .

$p$$p$

Alan에게 매우 중요한 질문을했으며 위의 몇 가지 훌륭한 답변을 받았습니다. 더 간단한 답변을 제공하고 위의 답변으로 해결되지 않은 차이점에 대한 추가 차원을 제시하고 싶습니다. 간단히하기 위해 여기서 말할 것은 파라 메트릭 통계 모델과 관련이 있습니다.

$y = a x^2 + b x + c$$y = m x + b$$F = -k x$$m$$b$$k$

그래서, 귀하의 질문에 대한 저의 간단한 답변 # 1 은 통계 모델이 분포의 패밀리입니다.

더 나아가고 싶은 것은 한정자, 통계와 관련이 있습니다. 유대 진주가 그의 "원인 분석의 황금률"[1, p350]에서 지적한 것처럼,

성향 스코어, 회귀, 계층화 또는 기타 분포 기반 설계 등 순수한 통계적 방법으로는 인과 적 주장을 할 수 없습니다.

$F=-kx$ 즉 확률 분포에 대한 진술.

따라서 귀하의 질문에 대한 제 2 대답은 다음과 같습니다. 모델은 일반적으로 순수한 분포 용어로 표현할 수없는 인과 아이디어를 구현합니다.

[1] : 진주, 유대. 인과 관계 : 모델, 추론 및 추론. 2 판. 영국 케임브리지; 뉴욕 : Cambridge University Press, 2009. 인용 된 p. 351.