모멘트 생성 기능

이 질문은 여기서 바운드 온 모멘트 생성 기능 (MGF)에 관한 질문 에서 발생합니다.

가정하자 의 값에 묶여 제로 평균 확률 변수의 복용 및하자 수를 그 MGF. A는에서 Hoeffding의 부등식의 증명에 사용 바운드 , 우리가 저 우측은 MGF로서 인식 할 표준 편차 제로 평균 정상 랜덤 변수 . 이제 의 표준 편차는 보다 클 수 없으며 , 가 $X$$[-\sigma, \sigma]$$G(t) = E[e^{tX}]$G ( t ) = E [ E t X ] ≤ 즉 σ 2 t 2 / 2 σ X σ X P { X = σ } = P { X = − σ } = 1

$$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$$ $\sigma$$X$$\sigma$$X$$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$. 따라서, 언급 된 경계는 제로 평균 경계 랜덤 변수 의 MGF가 표준 편차가 가 가능한 최대 표준 편차와 동일한 제로 평균 정규 랜덤 변수의 MGF에 의해 경계가 있다고 말하는 것으로 생각할 수 있습니다. 있다.$X$$X$

내 질문은 : 이것은 Hoeffding의 불평등 증명 이외의 장소에서 사용되는 독립적 인 관심의 잘 알려진 결과이며, 그렇다면 0이 아닌 평균으로 임의 변수로 확장되는 것으로 알려져 있습니까?

이 질문을 촉발 한 결과는 에 대해 비대칭 범위 를 허용 하지만 주장합니다 . 바운드는 여기서 는 값이 제한된 랜덤 변수에 대해 가능한 최대 표준 편차 이지만 아니면이 평균은 0 평균 랜덤 변수에 의해 달성되지 않습니다 .$[a,b]$$X$$a < 0 < b$$E[X] = 0$

$$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$$ $\sigma_{\max} = (b-a)/2$$[a,b]$$b = -a$

귀하의 질문의 첫 번째 부분에 답할 수는 없지만 0이 아닌 임의의 변수로 확장하는 방법은 ...

$Z$$[a+\mu,b+\mu]$$\mu$$X = Z-\mu$$[a,b]$$\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$$\exp\{\mu t\}$

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

$\sigma_\text{max}$