Jeffreys Priors와 분산 안정화 변환의 관계는 무엇입니까?

나는 Wikipedia에서 Jeffreys에 대해 읽었습니다 : Jeffreys Prior 는 각 예제 후에 분산 안정화 변환이 Jeffreys를 이전에 균일하게 만드는 방법을 설명합니다.

예를 들어, Bernoulli 사례의 경우 확률이 $\gamma \in [0,1]$ 인 동전의 경우 Bernoulli 시험 모델은 매개 변수에 대한 Jeffreys 이전의 결과를 나타냅니다 .$\gamma$

$$p(\gamma) \propto \frac{1}{\sqrt{\gamma ( 1-\gamma)}}$$

그런 다음 이것이 베타 배포판이라고 말합니다 . 또한 언급하는 경우 , 종래에 대한 다음 제프리스 간격에 균일 한 .$\alpha = \beta = \frac{1}{2}$$\gamma = \sin^2(\theta)$$\theta$$\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$

변형을 분산 안정화 변환의 변형으로 인식합니다. 나를 혼란스럽게하는 것은 :

1. 분산 안정화 변환이 왜 균일 한 결과를 낳을까요?

2. 왜 우리는 균일 한 사전을 원할까요? (부적절하기 쉬울 수 있으므로)

일반적으로 제곱 사인 변환이 제공되는 이유와 역할이 무엇인지 잘 모르겠습니다. 누구든지 아이디어가 있습니까?

Jeffreys 이전의 매개 변수는 변경되지 않았습니다. 이런 이유로 많은 베이지안들은 그것을“비 정보적인 선례”로 간주합니다. (하티건은 전과의 전체 공간이 보여 주었다 대한 α + β = 1 J가 있다 제프리스의 사전 및 H는 하티건의 점근 로컬 종래 불변이다 -. 불변 전에 분배 ) $J^\alpha H^\beta$$\alpha + \beta=1$$J$$H$

균일 한 선행은 정보가없는 것이지만 반복적으로 매개 변수를 임의로 변환 한 후에 새 매개 변수보다 균일 한 것은 완전히 다른 것을 의미하는 경우가 종종 있습니다. 매개 변수화의 임의 변경이 이전에 영향을 미치는 경우 이전은 분명한 정보입니다.

1. 정의에 따르면 Jeffreys 를 사용하는 것은 분산 안정화 변환을 적용한 후 flat을 사용하는 것과 같습니다.

2. 수학적 관점에서, 제프리스 이전을 사용하고 분산 안정화 변환을 적용한 후 플랫을 사용하는 것은 동등합니다. 인간의 관점에서 볼 때, 후자는 더 좋을 것입니다. 매개 변수 공간은 위치에 관계없이 모든 방향에서 차이가 모두 동일하다는 의미에서 "동질"이되기 때문입니다.

Bernoulli 예제를 고려하십시오. 테스트에서 99 %의 점수가 59 %의 50 %와 같은 거리 인 90 %의 거리라는 것이 조금 이상하지 않습니까? 분산 안정화 변환 후 이전 쌍은 원래대로 더 분리됩니다. 우주에서의 실제 거리에 대한 직관과 일치합니다. 수학적으로 분산 안정화 변환은 로그 손실의 곡률을 항등 행렬과 동일하게 만듭니다.

제공 한 Wikipedia 페이지에서는 실제로 "분산 안정화 변환"이라는 용어를 사용하지 않습니다. "분산-안정화 변환"이라는 용어는 일반적으로 랜덤 변수의 분산을 일정하게 만드는 변환을 나타내는 데 사용됩니다. 베르누이 (Beroulli)의 경우, 이것이 변화와 함께 일어나고있는 일이지만, 그것이 정확히 목표가 아닙니다. 목표는 분산을 안정화시키는 것이 아니라 균일 한 분포를 얻는 것입니다.

Jeffreys를 사용하는 주요 목적 중 하나는 변형 중에 변하지 않는다는 점을 상기하십시오. 즉, 변수를 다시 매개 변수화하면 이전 변수는 변경되지 않습니다.

1.

당신이 지적으로 이전이 베르누이 경우의 제프리스는, 베타 인 . p γ ( γ ) ∝ $(1/2, 1/2)$

$$p_{\gamma}(\gamma) \propto \dfrac{1}{\sqrt{\gamma(1-\gamma)}}.$$

와 Reparametrizing , 우리의 분포를 찾을 수 있습니다 θ를 . 먼저 θ = arcsin ( $\gamma = \sin^2(\theta)$$\theta$, 이후0<γ<1,0<θ<π/2. sin2(x)+cos2(x)=1임을 기억하십시오. F θ ( x $\theta = \arcsin(\sqrt{\gamma})$$0 < \gamma < 1$$0 < \theta < \pi/2$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

$$\begin{align*} F_{\theta}(x) & = P(\theta < x)\\ & = P(\sin^2(\theta) < \sin^2(x))\\ & = P(\gamma < \sin^2(x))\\ & = F_{\gamma}(\sin^2(x))\\ f_{\theta}(x) & = \dfrac{d F_{\gamma}(\sin^2(x)}{d x}\\ & = 2\sin(x)\cos(x)\,p_{\gamma}(\sin^2(x))\\ & \propto \sin(x)\cos(x) \dfrac{1}{\sqrt{\sin^2(x)(1 - \sin^2(x))}}\\ & =1. \end{align*}$$

$\theta$$(0, \pi/2)$$\sin^2(\theta)$$\theta$

2.

$$q(\theta|x) \propto f(x|\theta) f(\theta) \propto f(x|\theta).$$

$(0, \pi/2)$