많은 수의 독립된 Cauchy 랜덤 변수의 합이 정상입니까?

중앙 한계 정리 (Central Limit Theorem)에 따르면, 큰 독립 랜덤 변수의 합의 확률 밀도 함수는 보통이됩니다. 따라서 많은 독립된 Cauchy 랜덤 변수의 합도 정상이라고 말할 수 있습니까?

random-variable central-limit-theorem cauchy

— Urvah Shabbir
소스

배운 Central Limit Theorem 버전의 hypohtese는 무엇입니까?

— Brian Borchers

아니.

중심 한계 정리의 중심 가정 중 하나가 누락되었습니다.

... 유한 분산 을 갖는 랜덤 변수 ...

코시 분포에는 유한 분산이 없습니다.

코시 분포는 평균, 분산 또는 더 높은 모멘트가 정의되지 않은 분포의 예입니다.

사실로

경우 독립적이고 동일하게 분산 된 랜덤 변수, 표준 코시 분포 각각 다음의 샘플의 평균이다 동일한 기준 코시 분포를 갖는다. $X_1, \ldots, X_n$ $\frac{X_1 + \cdots + X_n}{n}$

따라서 귀하의 질문에 대한 상황은 매우 분명합니다. 동일한 Cauchy 분포를 계속 되 찾으십시오.

이것이 안정적인 배포 권리의 개념입니까?

예. A (엄격한) 안정적인 분포 (또는 임의 변수)는 두 iid 사본의 모든 선형 조합 가 원래 분포에 비례하여 분포 된 분포입니다. 코시 분포는 실제로 고정되어 있습니다. $a X_1 + b X_2$

(*) 위키 백과의 인용문.

— 매튜 드 루리
소스

와. CLT 개념을 정리해야합니다. 답변 주셔서 감사합니다.

— urvah shabbir

코시는이 공간에서 정말 좋은 예입니다. 꼬리에는 평균이 평균을 향해 끌어 당기는 데 충분한 질량이 있지만 특이 치가 꼬리에 질량을 축적시키는 것만으로는 충분하지 않습니다. CLT가 실패하는 경계에 있습니다.

— Matthew Drury

"CLT가 실패한 경계에 있습니다." 확실하지는 않습니다. 자유도가 2 인 분포는 유한하지만 무한하지만, Cauchy는 그렇지 않습니다. 코시에게는 많은 수의 법칙이 적용되지 않습니다!

t

$t$

E (| X |)

$E(|X|)$

E (X^{2})

$E(X^2)$

— Andrew M

오, 재밌어요! 나는 거기에 약간의 뉘앙스가 실제로 감추어 져 있다고 가정합니다.

— Matthew Drury

내가 바로 기억한다면 실제로 t2와 Cauchy에 해당하는 제한 정리가 있습니다. t2의 함수에 따라 적절한 표준화 선택을 올바르게 기억한다면 Cauchy의 샘플 평균은 우리가 시작한 것과 동일한 Cauchy입니다.

n

$n$

\bar{X} - μ

$\bar{X}-\mu$

— Glen_b-복귀 모니카