CDF가 PDF보다 기본입니까?

내 통계 전문가는 기본적으로 다음 세 가지 중 하나가 주어지면 다른 두 가지를 찾을 수 있다고 말했습니다.

누적 분포 함수
순간 생성 기능
확률 밀도 함수

그러나 나의 계량 경제학 교수는 CDF를 가질 수 있지만 PDF가 정의되어 있지 않은 예제가 있기 때문에 CDF가 PDF보다 더 기본이라고 말했다.

CDF가 PDF보다 기본입니까? CDF에서 PDF 또는 MGF를 파생시킬 수 있는지 어떻게 알 수 있습니까?

— 스탠 순 피케
소스

이것은 일종의 기본 경쟁입니까? 유명인 심사위 원단이 있습니까? 이 세 가지 개념을 모두 사용하여 공간

에 대한 측정 값을 정의 할 수 있습니다 . 그러나 특정 CDF의 경우 PDF가 CDF의 파생으로 정의되고 MGF가

로 정의되므로 MGF 및 PDF가 존재하지 않을 수 있으며, 이 적분이 존재할 필요는 없습니다. 그러나 이것이 이러한 개념 중 어느 것도 덜 기본적이라는 것을 의미하지는 않습니다. 기초는 수학적 정의가없는 훌륭한 형용사입니다. 중요한 동의어입니다.

R^{d}

$\mathbb{R}^d$

\int_{R} \exp (t x) d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}\exp(tx)dF(x)$

— mpiktas

@mpiktas :

에 대한 모든 확률 분포 는 CDF를 가지며 분포를 고유하게 정의합니다. 그러나 모든 확률 분포에 PDF 또는 MGF가있는 것은 아닙니다 (그러나 모두 고유 한 기능이 있습니다 ).

R^{n}

$\mathbb R^n$

— Ilmari Karonen

@mpiktas 당신은 그것을 할 수

에

. 그리고

..? (교수 표현식 "보다 근본적인"를 사용하는 이유 그럼에도 불구하고 분명히 결정이 나에게 정의되지 않은 형용사가 더 잘 수학적 의미를 정의되지 수도 있지만, 내가 무슨 말을 몇 가지 ..) 영어도 우리가 기본 CDF를 가지고 알고 있다고 모든 PDF는 여기에 "기본", "기본"과 함께 좋은 연결을 가지고 반대는 사실이 아니다..

A = {R, \emptyset}

$\mathcal A=\{\mathbb R,\varnothing\}$

R

$\mathbb R$

P ((- \infty, x])

$P((-\infty,x])$

— drhab

@ drhab, 자연스럽게 나는 Radon-Nikodym 파생 상품에 대해 이야기했습니다 :) 나는 교수가 생각한 것을 너무 완벽하게 이해하지만 내 의견으로는 학생들과 함께 그러한 표현을 사용하는 것이 위험합니다. 수학적 개념은 근본성에 따라 순위를 매기려고하지만 이는 근본적으로 잘못된 것입니다. 말장난

— mpiktas

@mpiktas : 물론“기본”에 대한 정확한 정의는 없습니다. 그러나“엄격하게 정의 된”과“완전히 의미가없는”사이에는 큰 중간 근거가 있습니다. 물론 수학 자체에서는 모든 것이 완전히 엄격해야하므로 그렇지 않은 것을 습득하는 데 매우 익숙합니다. 그러나 우리가 수학에 관해 이야기하고 생각할 때 , 우리는 다른 사람들과 마찬가지로“기본”,“일반”등과 같은 주관적인 의미의 개념을 가지고 있습니다. 그리고 괜찮습니다.

— PLL

답변:

의 부분 집합에 대한 모든 확률 분포 에는 누적 분포 함수 가 있으며 분포를 고유하게 정의합니다. 따라서 이런 의미에서 CDF는 실제로 배포 자체만큼이나 근본적입니다. $\mathbb R^n$

확률 밀도 함수는 , 그러나, 만 존재 (절대적) 연속 확률 분포 . PDF가없는 분포의 가장 간단한 예 는 정수 값만 사용하는 랜덤 변수의 분포와 같은 이산 확률 분포 입니다.

물론, 이산 확률 분포는 대신 확률 질량 함수 를 특징으로 할 수 있지만 , 연속 분포와 불연속 분포의 혼합과 같이 PDF 또는 PMF 가 없는 분포도 있습니다.

^{( 도움말 은 Glen_b의 관련 질문에 대한 답변 에서 부끄럽게 도난당했습니다 .)}

심지어있다 단수 확률 분포 예로서, 칸토어 분포 의해서도 설명 될 수 없으며, 결합 PDF 파일과 PMF의이. 그러나 이러한 배포판에는 여전히 잘 정의 된 CDF가 있습니다. 예를 들어 다음은 Cantor 배포판의 CDF이며 "악마의 계단"이라고도합니다.

^{( 이미지 에서 위키 미디어 공용 사용자가 테온 과 Amirki 세 이하 사용, CC-으로-SA 3.0 라이선스.)}

Cantor 기능 으로 알려진 CDF 는 연속적이지만 절대적으로 연속적인 것은 아닙니다. 실제로, 그것은 0 개의 Lebesgue 측정기 의 Cantor 세트 를 제외하고 어느 곳에서나 일정 하지만, 여전히 많은 포인트를 포함합니다. 따라서 Cantor 분포의 전체 확률 질량은 실선의이 작은 부분 집합에 집중되지만 세트의 모든 점은 여전히 개별적으로 0의 확률을 갖습니다.

모멘트 생성 함수 가없는 확률 분포도 있습니다 . 아마 가장 잘 알려진 예는 인 코시 분포 하는 지방 꼬리 분포는 1 차 이상의 잘 정의 된 모멘트가없는 인 (특히, 잘 정의 된 평균 또는 분산이 없음).

그러나 에 대한 모든 확률 분포 는 (복잡한 값을 갖는) 특성 함수를 가지며 , 그 정의는 허수 단위 와의 곱셈에 의해서만 MGF와 다릅니다 . 따라서, 특징적인 기능은 CDF만큼 기본적인 것으로 간주 될 수있다. $\mathbb R^n$

— 일 마리 카로 넨
소스

모든 분포에는 CDF가 있지만 모두는 PDF는 없지만 실제로는 PDF가 있고 닫힌 형태의 CDF가없는 분포 (예 : 다변량 정규 분포)가 있습니다.

— 팀

@Tim : 사실이지만 "닫힌 양식"한정자 만 사용합니다. CDF는 닫힌 형태로 쓸 수 없더라도 여전히 존재합니다. 어쨌든 " 폐쇄 형 표현 " 의 정의 는 잘 알려져 있지 않다. 일부 엄격한 정의에 따르면 일 변량 정규 분포조차도 닫힌 형태 CDF가 없지만 오류 함수 를 닫힌 형태로 간주하면됩니다 .

— Ilmari Karonen

@Tim 반례가 아닙니다. 그것은 당신이 당신에게 중요 / 기본으로 선택한 임의의 속성입니다. 저에게는 "존재"속성이 "폐쇄 된 양식"보다 중요합니다. 더군다나 "항상 존재한다"대 "때로는 어떤 기능처럼 형태가 닫히지 않았을 수도있다".

— Ark-kun

Cantor 세트가 "무한 점"을 갖는 것보다 더 중요한 점은 셀 수없이 많은 점이 있다는 것 입니다. 간격이

동일한 카디널리티를 갖습니다 . 따라서 0 (Lebesgue) 측정 값을 가진 구간의 셀 수없는 하위 집합입니다. 당신이 설명하는 척도는 Cantor 세트의 셀 수있는 서브셋에서 0이고 (일부) 셀 수없는 서브셋에서 0이 아니라는 점에서 비슷합니다.

[0, 1] \subset R

$[0,1] \subset \Bbb{R}$

— Eric Towers

@ Ark-kun 저는 PDF가 CDF보다 "직접 사용 가능한"경우가 있기 때문에 여기에서 악마 옹호자를하고 있습니다. 나는이 대답을 좋아하지만 (+1) IMHO, 이것은 또한 언급 할 수있는 것입니다.

— Tim

계량 경제학 교수가 다음과 같은 생각을하고 있다고 생각합니다.

고려 함수 domiain하여 에서 정의한 $F$ $[0, 1]$

에프 (엑스) = \frac{1}{2} 엑스 ...에 대한 엑스 < \frac{1}{2}

$F(x) = \frac{1}{2}x \ \text{for} \ x < \frac{1}{2}$

에프 (엑스) = \frac{1}{2} 엑스 + \frac{1}{2} ...에 대한 엑스 \geq \frac{1}{2}

$F(x) = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \ \text{for} \ x \geq \frac{1}{2}$

$[0, 1]$

피 ({\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}

$P\left(\left\{\frac{1}{2}\right\}\right) = \frac{1}{2}$

$f$

PDF의 정의에 따르면

\int_{0}^{엑스} 에프 (티) 디 티 = 에프 (엑스) - 에프 (0) = \frac{1}{4} 엑스

$\int_0^x f(t) dt = F(x) - F(0) = \frac{1}{4}x$

$0 < x < \frac{1}{2}$

에프 (엑스) = \frac{1}{4} ...에 대한 엑스 < \frac{1}{2}

$f(x) = \frac{1}{4} \ \text{for} \ x < \frac{1}{2}$

같은 방식으로 시작하지만 1부터 시작하여 0으로 이동하고 에서 끝나는 적분 $x > \frac{1}{2}$

에프 (엑스) = \frac{1}{4} ...에 대한 엑스 > \frac{1}{2}

$f(x) = \frac{1}{4} \ \text{for} \ x > \frac{1}{2}$

$f$ $f\left(\frac{1}{2}\right)$ $f\left(\frac{1}{2}\right)$

피 ({\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2}

$P\left(\left\{\frac{1}{2}\right\}\right) = \frac{1}{2}$

우리는 필요하게 될 것이다

\int_{\frac{1}{2} - ϵ}^{\frac{1}{2} + ϵ} 에프 (티) 디 티 > \frac{1}{2}

$\int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} f(t) dt > \frac{1}{2}$

포함하는 모든 간격에 대해 $\frac{1}{2}$

\int_{\frac{1}{2} - ϵ}^{\frac{1}{2} + ϵ} 에프 (티) 디 티 = \int_{\frac{1}{2} - ϵ}^{\frac{1}{2} + ϵ} \frac{1}{4} 디 티 = \frac{1}{2} ϵ

$\int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} f(t) dt = \int_{\frac{1}{2} - \epsilon}^{\frac{1}{2} + \epsilon} \frac{1}{4} dt = \frac{1}{2} \epsilon$

$f$

PDF의 개념을 복구 할 수 있지만 측정 또는 분포 와 같은 보다 정교한 수학적 개체를 사용해야합니다 .

— 매튜 드 루리
소스

\frac{1}{2} δ (x - \frac{1}{2})

$\frac{1}{2} \delta \left(x-\frac{1}{2}\right)$

δ (x)

$\delta(x)$

x = 0

$x=0$

\int_{- \infty}^{+ \infty} δ (엑스) 디 엑스 = 1

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \,\mathrm{d}x = 1$

L^{1}

$L^1$

whuber가 말한 것은 내가 마지막 줄에서 암시했던 것입니다. 나는 "배포"라는 단어를 사용했다.

— Matthew Drury

1 / 2

$1/2$

1 / 2

$1/2$

Ilmari는 이론적 인 관점에서 좋은 답변을 제공합니다. 그러나 밀도 (pdf)와 분포 함수 (pdf)가 실제 계산에 어떤 용도로 사용되는지 물어볼 수도 있습니다. 이것은 어떤 상황이 다른 상황보다 더 직접적으로 유용한지를 명확히 할 수 있습니다.

$\mathbb{R}$ $(-\infty,x]$ $-$ $-$

그러나 가능성은 밀도 측면에서 정의되므로 밀도는 통계에 필수적입니다. 따라서 최대 우도 추정치를 계산하려면 밀도가 직접 필요합니다.

경험적 분포와 이론적 분포를 비교하면 둘 다 유용 할 수 있지만 분포 함수를 기반으로하는 pp- 및 qq-plots와 같은 방법이 종종 선호됩니다.

$\mathbb{R}^d$ $d \geq 2$

— NRH
소스