포아송 모수의 편견 추정치

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하루 사고 횟수는 매개 변수 갖는 Poisson 랜덤 변수이며 , 임의로 선택된 10 일에 사고 횟수는 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1로 관찰됩니다. 의 편견이되지 않습니까? $\lambda$ $e^{\lambda}$

나는 이런 식으로 시도했다 : 우리는 이지만 입니다. 그렇다면 편견없는 필수 추정치는 무엇입니까? $E(\bar{x})=\lambda=0.8$ $E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

self-study estimation poisson-distribution

— 프리 얀카
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만약 , 다음위한 . 계산하기 어렵다 $X\sim \text{Pois}(\lambda)$ $P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$ $k\geq 0$

E [X^{n}] = \sum_{k \geq 0} k^{n} P (X = k),

$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$ 그러나 을 계산하는 것이 훨씬 쉽습니다 . 여기서 : 이것을 증명할 수 있습니다 혼자서-쉬운 운동입니다. 또한 이 로 iid 이면 따라서 이라고합시다 . 그것은 다음과 같습니다

E [X^{\underline{n}}]

$E[X^{\underline{n}}]$

X^{\underline{n}} = X (X - 1) \dots (X - n + 1)

$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$

E [X^{\underline{n}}] = λ^{n} .

$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$

X_{1}, \dots, X_{N}

$X_1,\cdots, X_N$

Pois (λ)

$\text{Pois}(\lambda)$

U = \sum_{i} X_{i} \sim Pois (N λ)

$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$

E [U^{\underline{n}}] = (N λ)^{n} = N^{n} λ^{n} and E [U^{\underline{n}} / N^{n}] = λ^{n} .

$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$

Z_{n} = U^{\underline{n}} / N^{n}

$Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

$Z_n$ 은 측정 함수 , , $X_1$ $\dots$ $X_N$
$E[Z_n] = \lambda^n$ ,

이후우리는 그것을 추론 할 수 있습니다 $e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

E [\sum_{n \geq 0} \frac{Z_{n}}{n!}] = \sum_{n \geq 0} \frac{λ^{n}}{n!} = e^{λ},

$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$ 따라서 편향 추정값은즉, 입니다. 그러나 를 계산 하려면 무한한 것으로 보이는 합계를 평가해야하지만 이므로 입니다 . 그 다음 에 대한 , 따라서 합계가 유한.

W = \sum_{n \geq 0} Z_{n} / n!

$W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$

E [W] = e^{λ}

$E[W] = e^\lambda$

W

$W$

U \in N_{0}

$U\in \mathbb{N}_0$

U^{\underline{n}} = 0

$U^\underline{n} = 0$

n > U

$n>U$

Z_{n} = 0

$Z_n = 0$

n > U

$n>U$

이 방법을 사용하면 으로 표현 될 수있는 의 모든 함수에 대해 편향 추정량을 찾을 수 있습니다 . $\lambda$ $f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

— 앙투안
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팔로우 즉 . 를 추정하고 싶습니다 . 당신이 말할 수 있듯이, 가능한 추정기는 의 모멘트 생성 함수 사용 , 우리가 발견 이므로 는 바이어스됩니다. 일부 추측은 $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$ $\theta=e^\lambda$

\hat{θ} = e^{\bar{X}} = e^{Y / 10} .

$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$

Y

$Y$

M_{Y} (t) = e^{10 λ (e^{t} - 1)},

$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$

E (\hat{θ}) = E (e^{\frac{1}{10} Y}) = M_{Y} (\frac{1}{10}) = e^{10 λ (e^{1 / 10} - 1)} = θ^{10 (e^{1 / 10} - 1)},

$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$

\hat{θ}

$\hat\theta$

θ^{*} = e^{a Y},

$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$ 보정 계수 의 적절한 선택을 위해 편향 될 수있다 . 다시의 MGF하여 우리가 발견 이되도록 바이어스 된 경우 로되는 리드 및 는 의 편견 추정치입니다 .

a

$a$

Y

$Y$

E (θ^{*}) = e^{10 λ (e^{a} - 1)} = θ^{10 (e^{a} - 1)},

$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$

10 (e^{a} - 1) = 1

$10(e^a - 1) = 1$

a = \ln \frac{11}{10}

$a=\ln\frac{11}{10}$

θ^{*} = (\frac{11}{10})^{Y}

$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$

θ = e^{λ}

$\theta=e^\lambda$

바이 레만-Scheffe 방법 정리 보낸 충분한 통계위한 추정기, (의 함수 )이다 UMVUE을 위한 . $Y$ $\lambda$ $\theta^*$ $Y$ $e^\lambda$

— 자렐 투 프토
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