불연속 및 연속 랜덤 변수의 합이 연속 또는 혼합입니까?

경우 이산이며, 연속 확률 변수는 우리의 분포에 대해 말할 수있는 다음입니다 ? 연속적입니까 아니면 혼합되어 있습니까?$X$$Y$$X+Y$

제품 어떻습니까?$XY$

가정하자 값 가정 이산 분포 , 셀 수 설정되고, 값을 가정 밀도 및 CDF .$X$$k \in K$$(p_k)_{k \in K}$$K$$Y$$\mathbb R$$f_Y$$F_Y$

하자 . 우리는 주어진 대한 밀도 함수를 얻기 위해 미분 될 수 있음$Z = X + Y$

$$\mathbb P( Z \leq z) = \mathbb P(X + Y \leq z) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq z - X \mid X = k) \mathbb P(X = k) = \sum_{k \in K} F_Y(z-k) p_k,$$ $Z$ $$f_Z(z) = \sum_{k \in K} f_Y(z-k) p_k.$$

이제 이고 이라고 가정하십시오 . 그런 다음 . 밀도 함수를 얻기 위해 다시 차별화 될 수 있습니다.$R = X Y$$p_0 = 0$

$$\mathbb P(R \leq r) = \mathbb P(X Y \leq r) = \sum_{k \in K} \mathbb P(Y \leq r/X) \mathbb P(X= k) = \sum_{k \in K} F_Y(r/k) p_k,$$

그러나 이면 이며,이 경우 는 0에 원자가 있음을 나타냅니다 .$p_0 > 0$$\mathbb P(X Y = 0) \geq \mathbb P(X = 0) = p_0 > 0$$XY$

하자 확률 질량 함수와 함께 이산 랜덤 변수 일 , 이산 세트 (아마도 countably 무한)이다. 랜덤 변수 는 다음 확률 밀도 함수를 갖는 연속 랜덤 변수로 생각할 수 있습니다.$X$$p_X : \mathcal{X} \to [0,1]$$\mathcal{X}$$X$

$$f_X (x) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, \delta (x - x_k)$$

여기서 는 Dirac 델타 함수입니다.$\delta$

경우 연속 확률 변수는 다음 A는 하이브리드 랜덤 변수. 와 의 확률 밀도 함수를 알고 있으므로 의 확률 밀도 함수를 계산할 수 있습니다 . 와 가 독립적 이라고 가정하면 , 의 확률 밀도 함수는 확률 밀도 함수 와 의 컨벌루션 에 의해$Y$$Z := X+Y$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$Z$$f_X$$f_Y$

$$f_Z (z) = \sum_{x_k \in \mathcal{X}} p_X (x_k) \, f_Y (z - x_k)$$

이 답변 은 와 가 독립적 이라고 가정합니다 . 그 가정이 필요없는 해결책이 있습니다.$X$$Y$

편집 : "연속"은 "pdf가 있음"을 의미한다고 가정합니다. 연속이 원자가없는 것을 의미한다면, 증거는 비슷하다. 다음에 나오는 "Lebesgue null set"을 "singleton set"로 바꾸십시오.

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의 지원을 계산 가능한 세트 . 나는 사용할 것이다$X$$\{x_1,x_2,x_3\dots\}$

렘마 : Lebesgue가 을 측정하는 모든 Borel 측정 가능 세트 대해 경우 랜덤 변수 는 연속적 입니다.$Z$$P(Z\in E)=0$$E$

증명 : Lebesgue-Radon-Nikodym 정리를 사용하십시오 . $\square$

증명하기 위해 연속 것은, 어떤 널 세트 걸릴 , 그리고 참고 그러나 경우에만 . 시프트 된 세트 는 여전히 Lebesgue 널입니다. 는 연속적 이기 때문에 이므로 위의 합은 0이므로 는 연속 임을 증명 합니다.$X+Y$$E$

$$P(X+Y\in E)=\sum_k P(\{Y+x_k\in E\}\cap \{X=x_k\})\le \sum_k P(Y+x_k\in E)$$ $Y+x_k\in E$$Y\in E-x_k$$E-x_k$$Y$$P(Y+x_k\in E)=0$$X+Y$

제품 문제에 대해 인 한 동일한 논리가 적용됩니다 . 만약 , 그 다음 함께 이산 . 그렇지 않으면 는 사소한 혼합물입니다.$P(X=0)=0$$P(X=0)=1$$XY$$P(XY=0)=1$$XY$