랜덤 변수 집합의 최소값은 어떻게 분산됩니까?

$X_1, ..., X_n$$\min(X_1, ..., X_n)$

X_i 의 cdf $X_i$가 F (x) 로 표시 $F(x)$되면 최소값의 cdf는 $1-[1-F(x)]^n$ 됩니다.

의 CDF 가 로 표시 되면 최소값의 CDF는 됩니다.$X_i$$F(x)$$1-[1-F(x)]^n$

추론 : 랜덤 변수가 주어지면 확률 는 하나 이상의 가 보다 작음을 암시합니다 .$n$$P(Y\leq y) = P(\min(X_1\dots X_n)\leq y)$$X_i$$y$

하나 이상의 가 보다 작을 확률은 1에서 모든 가 보다 클 확률을 뺀 것과 같습니다 . 즉 .$X_i$$y$$X_i$$y$$P(Y\leq y) = 1 - P(X_1 \gt y,\dots, X_n \gt y)$

가 동일하게 분포 된 독립적 인 경우 모든 가 보다 클 확률 은 입니다. 따라서 원래 확률은 입니다.$X_i$$X_i$$y$$[1-F(y)]^n$$P(Y \leq y) = 1-[1-F(y)]^n$

예 : 이라고 말하면 직관적으로 확률 은 과 같아야합니다 (최소값은 이후 항상 1보다 작으므로) 모든 대해 ). 이 경우 이므로 확률은 항상 1입니다.$X_i \sim \text{Uniform} (0,1)$$\min(X_1\dots X_n)\leq 1$$0\leq X_i\leq 1$$i$$F(1)=1$

Rob Hyndman은 고정 된 n에 대해 쉬운 대답을하였습니다. 큰 n에 대한 점근 적 행동에 관심이 있다면, 이는 극단적 인 가치 이론 분야에서 다루어 집니다. 가능한 제한 분포의 작은 계열이 있습니다. 예를 들어이 책 의 첫 장을 참조하십시오 .

특별한 경우 대답 1- (1-F (x)) ^ n이 정확하다고 생각합니다. 특별한 경우는 rv의 pmf가 rv의 도메인에 대한 공식을 기반으로하는 조건입니다. 위에서 언급 한 도메인의 여러 부분에서 다른 경우, 상기 공식은 실제 시뮬레이션 결과에서 약간 벗어납니다.