산술 평균이 기하 평균에 매우 가까운 경우 데이터에 대해 무엇을 결론 낼 수 있습니까?

~ 0.1 %와 같이 서로 매우 근접한 기하 평균과 산술 평균에 대해 중요한 것이 있습니까? 그러한 데이터 세트에 대해 어떤 추측을 할 수 있습니까?

나는 데이터 세트를 분석하려고 노력했으며, 아이러니하게도 값이 매우 가깝다는 것을 알았습니다. 정확하지는 않지만 가깝습니다. 또한 산술 평균 기하학 평균 불평등의 빠른 온 전성 검사와 데이터 수집 검토를 통해 값을 어떻게 구성했는지에 대한 내 데이터 세트의 무결성에 대해 비린 것은 아무것도 없다는 것이 밝혀졌습니다.

산술 평균은 산술 평균-기하 평균 (AMGM) 불평등을 통한 기하학적 평균과 관련이 있습니다.

$$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n} n \geq \sqrt[n]{x_1 x_2\cdots x_n},$$

여기서 균등 함은 iff 입니다. 따라서 데이터 포인트가 서로 매우 가깝습니다.$x_1=x_2=\cdots=x_n$

@Alex R의 답을 자세히 설명하면 AMGM 불평등을 보는 한 가지 방법은 Jensen의 불평등 효과입니다. 으로 옌센 부등식 : 그런 다음 양변의 지수를 취합니다 :

$$\log\left( \frac{1}{n} \sum_i x_i \right) \geq \frac{1}{n} \sum_i \log x_i$$ $$\frac{1}{n} \sum_i x_i \geq \exp\left( \frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$$

오른쪽은 ( x 1 ⋅ x 2 ⋅ … ⋅ x n ) 1 / n = exp ( 1 이기 때문에 기하 평균입니다.$\left(x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)^{1/n} = \exp\left(\frac{1}{n} \sum_i \log x_i \right)$

AMGM 불평등은 언제 거의 평등하게 유지됩니까? 젠슨의 불평등 효과가 작을 때. 젠슨의 불평등 효과를 이끄는 것은 요철, 로그의 곡률입니다. 대수가 곡률이있는 영역에 데이터가 분산되면 효과가 커집니다. 로그가 기본적으로 적합한 지역에 데이터가 분산되어 있으면 효과가 작습니다.

예를 들어, 데이터의 변동이 적고 충분히 작은 이웃에 모여 있으면 대수는 해당 지역의 아핀 함수처럼 보입니다 (미적분학의 주제는 부드럽고 연속적인 함수를 충분히 확대하면 그것은 선처럼 보일 것입니다). 데이터가 충분히 가까이있을 경우 데이터의 산술 평균은 기하 평균에 가깝습니다.

산술 평균 (AM)이 기하학적 평균 (GM) 의 작은 배수 1 + δ ( δ ≥ 0 ) 인 경우 의 범위를 조사해 봅시다 . 문제에서 δ ≈ 0.001 이지만 우리는 n을 모른다 .$x_1\le x_2 \le \cdots \le x_n$$1+\delta$$\delta \ge 0$$\delta\approx 0.001$$n$

Since the ratio of these means does not change when the units of measurement are changed, pick a unit for which the GM is $1$. Thus, we seek to maximize $x_n$ subject to the constraint that $x_1+x_2+\cdots+x_n = n(1+\delta)$ and $x_1\cdot x_2\cdots x_n = 1$.

This will be done by making $x_1=x_2=\cdots=x_{n-1}=x$, say, and $x_n=z \ge x$. Thus

$$n(1+\delta) = x_1 + \cdots + x_n = (n-1)x + z$$

and

$$1 = x_1\cdot x_2 \cdots x_n = x^{n-1}z.$$

The solution $x$ is a root between $0$ and $1$ of

$$(1-n)x^n + n(1+\delta)x^{n-1} - 1.$$

It is easily found iteratively. Here are the graphs of the optimal $x$ and $z$ as a function of $\delta$ for $n=6, 20, 50, 150$, left to right:

As soon as $n$ reaches any appreciable size, even a tiny ratio of $1.001$ is consistent with one large outlying $x_n$ (the upper red curves) and a group of tightly clustered $x_i$ (the lower blue curves).

At the other extreme, suppose $n=2k$ is even (for simplicity). The minimum range is achieved when half the $x_i$ equal one value $x \le 1$ and the other half equal another value $z \ge 1$. Now the solution (which is easily checked) is

$$x^k = 1+\delta \pm \sqrt{\delta^2 + 2\delta}.$$

For tiny $\delta$, we may ignore the $\delta^2$ as an approximation and also approximate the $k^\text{th}$ root to first order, giving

$$x \approx 1 + \frac{\delta-\sqrt{2\delta}}{k};\ z \approx 1 + \frac{\delta+\sqrt{2\delta}}{k}.$$

The range is approximately $\sqrt{32\delta}/n$.

In this manner we have obtained upper and lower bounds on the possible range of the data. We have learned that they depend heavily on the amount of data $n$. The upper bound shows the range can be appreciable even for tiny $\delta$, thereby improving our sense of just how close to each other the data points really need to be--and placing a lower limit on their range, too.

Similar analyses, just as easily carried out, can inform you--quantitatively--of how tightly clustered the $x_i$ might be in terms of any other measure of spread, such as their variance or coefficient of variation.