로그 정규 분포에서 산술 평균이 분포 평균보다 작은 이유는 무엇입니까?

그래서 로그 정규 분포 확률 변수 생성하는 무작위 프로세스가 있습니다. 해당 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다.$X$

나는 원래 분포의 몇 순간의 분포 를 추정하고 싶었습니다 . 첫 번째 순간, 산술 평균이라고합시다. 그렇게하기 위해 10000 번의 랜덤 변수를 10000 번 그려서 산술 평균의 10000 추정치를 계산할 수있었습니다.

그 평균을 추정하는 두 가지 방법이 있습니다 (적어도 내가 이해 한 것입니다 : 내가 틀릴 수 있습니다).

1. 일반적으로 산술 평균을 계산하면 $$\bar{X} = \sum_{i=1}^N \frac{X_i}{N}.$$
2. 또는 기본 정규 분포에서 및 를 먼저 추정 하여 : 그리고 그 평균은μ μ = N ∑ i = 1 log ( X i$\sigma$$\mu$ˉ X =exp(μ+ $$\mu = \sum_{i=1}^N \frac{\log (X_i)}{N} \quad \sigma^2 = \sum_{i=1}^N \frac{\left(\log (X_i) - \mu\right)^2}{N}$$ $$\bar{X} = \exp(\mu + \frac{1}{2}\sigma^2).$$

문제는 이러한 각 추정치에 해당하는 분포가 체계적으로 다르다는 것입니다.

"일반"평균 (빨간색 점선으로 표시)은 지수 형태 (녹색 일반 선)에서 파생 된 것보다 일반적으로 낮은 값을 제공합니다. 두 방법 모두 정확히 동일한 데이터 세트에서 계산됩니다. 이 차이는 체계적입니다.

이 분포가 왜 다른가요?

$N$$\exp[\mu+1/2\sigma^2]$

$\bar X\to_pE(X_i)$

$$\exp[\hat\mu+1/2\hat\sigma^2]\to_p\exp[\mu+1/2\sigma^2],$$ $\hat\mu\to_p\mu$$\hat\sigma^2\to_p\sigma^2$

그러나 MLE은 편견이 아닙니다.

$N$$\hat\mu$$\hat\sigma^2$$N=100$$N-1$$\mu$$\sigma^2$

$E(\hat\mu+1/2\hat\sigma^2)\approx\mu+1/2\sigma^2$

$$E[\exp(\hat\mu+1/2\hat\sigma^2)]>\exp[E(\hat\mu+1/2\hat\sigma^2)]\approx \exp[\mu+1/2\sigma^2]$$

$N=100$

$N=1000$

로 만든 :

N <- 1000
reps <- 10000

mu <- 3
sigma <- 1.5
mm <- mle <- rep(NA,reps)

for (i in 1:reps){
  X <- rlnorm(N, meanlog = mu, sdlog = sigma)
  mm[i] <- mean(X)

  normmean <- mean(log(X))
  normvar <- (N-1)/N*var(log(X))
  mle[i] <- exp(normmean+normvar/2)
}
plot(density(mm),col="green",lwd=2)
truemean <- exp(mu+1/2*sigma^2)
abline(v=truemean,lty=2)
lines(density(mle),col="red",lwd=2,lty=2)

> truemean
[1] 61.86781

> mean(mm)
[1] 61.97504

> mean(mle)
[1] 61.98256

$\exp(\mu+\sigma^2/2)$

$$V_t = (\sigma^2 + \sigma^4/2)\cdot \exp\left\{2(\mu + \frac 12\sigma^2)\right\},$$ $$\exp\left\{2(\mu + \frac 12\sigma^2)\right\}(\exp\{\sigma^2\}-1)$$ $$\exp\{\sigma^2\}>1+\sigma^2 + \sigma^4/2,$$ $\exp(x)=\sum_{i=0}^\infty x^i/i!$$\sigma^2>0$

$N$N <- c(50,100,200,500,1000,2000,3000,5000)

$N$$N$$N=50$

> tail(sort(mm))
[1] 336.7619 356.6176 369.3869 385.8879 413.1249 784.6867
> tail(sort(mle))
[1] 187.7215 205.1379 216.0167 222.8078 229.6142 259.8727