2 차 법선의 분포

I가 분포 내려고하고 여기서 , iid 각 용어를 개별적으로 취하면 및 그러나 (*)의 분포에 대해 확신이 없습니다.

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— 자일 레이 첸
소스

우리 사이트에 오신 것을 환영합니다! 이것은 코스 나 교과서에서 질문입니까? 그렇다면 [self-study]태그 를 추가 하고 위키를 읽으십시오 . 그렇지 않으면이 문제가 어떤 상황에서 발생했는지 아는 것이 흥미로울 것입니다. 당신이 한 일과 어디에 갇혀 있는지 알려 주셔서 감사합니다

— Silverfish

@ Silverfish 아니요, 이것은 내가 알아 내려고하는 것입니다. 이 간단한 질문으로 문제를 정리했습니다. 내 원래 문제는 좀 더 복잡합니다. 두렵습니다. 그래서 나는 정말로 도움이 필요한 부분 만 물어 보았습니다. 그러나 이것이 교과서 문제처럼 보이는 경우 관련 정보를 제공하기를 기대하면서 어떤 텍스트에서 배우는 데 관심이있을 것입니다 :)

— Zailei Chen

그것은 합리적으로 보인다! 또한, 라텍스 조판을 사용하는 덕분에, 우리는 항상 노력에 감사

— 좀 벌레

시도 는 다음과 같습니다 .

고려 하여 및 와 $Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = (1 - 2 t)^{- n / 2} (1 + 2 t)^{- 1 / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 t)^{- (n - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

그것이 호의적 인 MGF로 축소 될 수 있는지 확실하지 않습니다.

— 권리
소스

약간 더 일반적인 상황에 대한 논의는 stats.stackexchange.com/questions/72479 에 있으며 대략적인 논문을 참조하십시오.

— whuber