역 지수 분포의 평균

임의의 변수 주어지면 의 평균과 분산은 무엇입니까?G = $Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

역 감마 분포를 보았지만 평균과 분산은 각각 및 대해서만 정의 됩니다 ...α > $\alpha>1$$\alpha>2$

역 지수 분포에 이 있다고 가정하면, 역 지수 의 평균이 라는 사실을 발견했습니다 . 따라서 역 지수의 분산은 정의되지 않습니다.$\alpha = 1$$\infty$

경우 역 지수 분포, 존재에 대해 유한 및 대한 .E ( G r ) r < 1 = ∞ r = $G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

지수 분포의 평균에 대한 계산을 보여 드리므로 접근 방식을 기억할 것입니다. 그런 다음 동일한 접근 방식으로 역 지수를 사용합니다.

주어진 $f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

부분적으로 적분 (순간 적분 앞에서 무시 )$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

적분 앞에 를 곱하면$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

에 대한 평가 및 ∞ ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

알려진 결과입니다.

들면 와 동일한 논리가 적용됩니다.$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

주요 차이점은 부품 별 통합의 경우

$u = y^{-1}$

과

$du = -1y^{-2}$

G = 1에 도움이되지 않습니다. . 여기에 적분이 정의되어 있지 않다고 생각합니다. Wolfram alpha는 수렴하지 않는다고 말합니다.$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

빠른 시뮬레이션 (R) 후에 평균이 존재하지 않는 것 같습니다.

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

비교를 위해 진정한 지수 임의 변수로 발생하는 상황은 다음과 같습니다.