나는 임의의 변수의 비율이나 역수가 종종 기대치에 문제가 있다고 들었습니다. 왜 그런가요?

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제목이 문제입니다. 랜덤 변수의 비율과 역은 종종 문제가 있다고 들었습니다. 의미는 종종 기대가 존재하지 않는다는 것입니다. 그것에 대한 단순하고 일반적인 설명이 있습니까?

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매우 간단하고 직관적 인 설명을하고 싶습니다. 그것은 그림을 보는 것과 같습니다.이 게시물의 나머지 부분은 그림을 설명하고 결론을 이끌어냅니다.

여기가 내려 오는 것입니다 : 는 "확률 질량"근처에 집중있을 때 $X=0$ , 근처에 너무 많은 가능성이있을 것 $1/X\approx \pm \infty$ , 그 기대가 정의되지 않은 원인.

완전히 일반적인 것이 아니라 근처에서 연속 밀도 를 갖는 랜덤 변수 에 초점을 맞추겠습니다 . 이라고 가정하십시오 . 시각적으로, 이러한 조건은 의 그래프가 주위의 축 위에 있음을 의미합니다 . $X$ $f_X$ $0$ $f_X(0)\ne 0$ $f$ $0$

$f_X$ $0$ $p$ $f_X(0)$ $\epsilon$ $x=0$ $2\epsilon$ $p$ $p\times 2\epsilon=2p\epsilon$

$X$

$2p\epsilon$ $(-\epsilon,\epsilon)$
$f_X - p I_{(-\epsilon,\epsilon)}$

$I$

$(1)$ $0 \lt u \lt \epsilon$ $X$ $0$ $u$ $p u / 2$ $1/X$ $1/u$ $S$ $1/X$

S (x) = Pr (1 / X > x),

$S(x) = \Pr(1/X \gt x),$

그림은 모든 대한 를 보여줍니다 . $S(x) \gt p / (2x)$ $x \gt 1/\epsilon$

에 대한이 사실은 기대치가 정의되어 있지 않기 때문에 이제 끝났습니다 . $S$ 의 양수 부분 , 의 기대치를 계산하는 데 포함 된 적분을 비교하십시오 . $1/X$ $(1/X)_{+} = \max(0, 1/X)$

E [(1 / X)_{+}] = \int_{0}^{\infty} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} S (x) d x > \int_{1 / ϵ}^{x} \frac{p}{2 x} d x = \frac{p}{2} \log (x ϵ) .

$E[(1/X)_{+}] = \int_0^\infty S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x S(x)dx \gt \int_{1/\epsilon}^x \frac{p}{2x}dx = \frac{p}{2} \log(x\epsilon).$

(이것은 순전히 기하학적 인 주장입니다 : 모든 적분은 식별 가능한 2 차원 영역을 나타내며, 모든 불평등은 그 지역 내의 엄격한 포함으로 인해 발생합니다. 실제로, 우리는 최종 적분이 대수라는 것을 알 필요조차 없습니다 : 단순한 기하학이 있습니다 이 적분을 보여주는 논증.)

같은 우측 발산 보낸 , 너무 발산한다. 의 마이너스 부분이있는 상황 은 동일합니다 (사각형이 주위를 중심으로하기 때문에 ). 같은 인수는 의 마이너스 부분이 기대되는 것을 나타냅니다 . 결과적으로 자체에 대한 기대 는 정의되지 않습니다. $x\to\infty$ $E[(1/X)_{+}]$ $1/X$ $0$ $1/X$ $1/X$

또한, 같은 주장은 가 지수 또는 감마 분포 (예 : 모양 매개 변수가 보다 작음 ) 와 같이 한쪽 에 확률이 집중 되어도 여전히 긍정적 인 기대가 분기되지만 부정적인 기대는 0이라는 것을 보여줍니다. 이 경우 기대치 는 정의되지만 무한합니다. $X$ $0$ $1$

— 우버
소스

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가정 이 결과에 결정적이라고 생각하는 것이 습니까? 내 말은, 우리는 가 적어도 관련된 매개 변수의 범위에 대해 모멘트를 가지고있는 경우가 , Gamma / Inverse-Gamma와 같은 인 경우에있는

f_{X} (0) \neq 0

$f_X(0)\neq 0$

1 / X

$1/X$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0) = 0$

— Alecos Papadopoulos

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@Alecos 아니오, 그 가정은 중요하지 않습니다. 그 점과 에서 의 연속성은 인수를 간단하게 만들지 만 필수는 아닙니다. 및 대해 에 비례하는 밀도 가진 를 고려하십시오 . 이것은 에서 연속적 이지만 는 기대하지 않습니다.

f

$f$

0

$0$

X

$X$

f_{X}

$f_X$

- 1 / \log (x)

$-1/\log(x)$

0 < x < 1 / e

$0 \lt x \lt 1/e$

f_{X} (0) = 0

$f_X(0)=0$

0

$0$

1 / X

$1/X$

— whuber

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비율과 역은 음이 아닌 임의의 변수에서 대부분 의미가 있으므로 거의 확실하게 가정 합니다. 경우, 양의 확률 값 제로 취할 이산 변수이며, 우리의 기대 이유를 설명하는 포지티브 확률을 제로로 분할 될 존재하지 않을 것이다. $X \ge 0$ $X$ $1/X$

이제 밀도 분포가 랜덤 변수 을 사용하여 연속 분포 사례를 살펴보십시오 . 이고 가 연속적 이라고 가정합니다 (적어도 0). 그런 다음있다 이되도록 대한 . 예상 값 로 주어진다 이제 적분 변수를 , , 획득 $X \ge 0$ $f(x)$ $f(0)>0$ $f$ $\epsilon > 0$ $f(x) > \epsilon$ $0 \le x < \epsilon$ $1/X$

E \frac{1}{X} = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x) d x

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X} = \int_0^\infty \frac1{x} f(x)\; dx$

u = 1 / x

$u=1/x$

d u = - \frac{1}{x^{2}} d x

$du = -\frac1{x^2} \; dx$

E \frac{1}{X} = - \int_{\infty}^{0} u f (\frac{1}{u}) (\frac{1}{u})^{2} d u = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u}) d u

$\E \frac1{X} = -\int_{\infty}^0 u f(\frac1{u}) (\frac1{u})^2 \; du = \\ \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}) \; du$ 이제, 에서 이므로 on 에서 이것을 사용하면 는 예상이 존재하지 않음을 나타냅니다. 이 가정을 충족시키는 예는 비율 1의 지수 분포입니다.

f (u) > ϵ

$f(u) > \epsilon$

[0, ϵ)

$[0,\epsilon)$

f (\frac{1}{u}) > 1 / ϵ

$f(\frac1{u}) > 1/\epsilon$

(1 / ϵ, \infty)

$(1/\epsilon, \infty)$

E \frac{1}{X} > ϵ \int_{1 / ϵ}^{\infty} \frac{1}{u} d u = \infty

$\E \frac1{X} > \epsilon \int_{1/\epsilon}^\infty \frac1{u}\; du =\infty$

우리는 역수에 대한 답을주었습니다. 비율은 어떻습니까? 하자 두 음이 아닌 확률 변수의 비인. 그것들이 독립적이라면, 쓸 수 있습니다. 그래서 이것은 첫 번째 경우로 거의 줄어들고 할 말이별로 없습니다. . 조인트 밀도 팩토링을 로 의존한다면 어떻게 될까요? 위와 같은 치환을 사용하여) 우리는 내부 통합에 위와 같이 추론 할 수있다. 결과적되도록 조건부 밀도 경우 (소정 $Z=Y/X$

E Z = E \frac{Y}{X} = E Y \cdot E \frac{1}{x}

$\E Z = \E\frac{Y}{X}=\E Y \cdot \E\frac1{x}$

f (x, y) = f (x ∣ y) g (y)

$f(x,y) = f(x \mid y) g(y)$

E \frac{Y}{X} = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x} f (x ∣ y) d x g (y) d y = \int_{0}^{\infty} y \int_{0}^{\infty} \frac{1}{u} f (\frac{1}{u} ∣ y) d u g (y) d y

$\E \frac{Y}{X} = \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{x} f(x\mid y) \; dx \;g(y)\; dy = \\ \int_0^\infty y \int_0^\infty \frac1{u} f(\frac1{u}\mid y) \; du \; g(y) \; dy$

y

$y$ )는 양수이고 연속적인 0이며, 양의 한계 확률을 갖는 의 세트에 대한 기대는 무한 할 것이다. 나는 의 한계 기대치 가 무한한 예제를 찾기가 쉽지 않을 것이라고 생각 하지만, 완벽한 상관 관계가 없다면 비율의 기대치 는 유한합니다. 그러한 예를 보는 것이 좋을 것입니다!

y

$y$

1 / X

$1/X$

Y / X

$Y/X$

— 크 제틸 비 할보 르센
소스