찾기 쉬운 방법

균일 분포 에서 추출한 3 개의 iid 샘플을 고려하십시오 . 여기서 는 모수입니다. 를 찾고 싶습니다 여기서 은 주문 통계 입니다. $u(\theta, 2\theta)$ $\theta$

E [X_{(2)} | X_{(1)}, X_{(3)}]

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right]$

X_{(i)}

$X_{(i)}$

i

$i$

결과는 하지만이 결과를 보여줄 수있는 유일한 방법은 길고, 나는 간단한 해결책을 제시 할 수 없으며, 뭔가를 놓치고 있습니까, 지름길이 있습니까?

E [X_{(2)} | X_{(1)}, X_{(3)}] = \frac{X_{(1)} + X_{(3)}}{2}

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \frac{X_{(1)}+ X_{(3)}}{2}$

내가하는 일은 다음과 같습니다.

조건부 밀도를 찾습니다

$f (x_{(2)} | x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{f (x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f (x_{(1)}, x_{(3)})}$ $f(x_{(2)}| x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{ f(x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f(x_{(1)}, x_{(3)})}$
나는 통합

E [X_{(2)} | X_{(1)}, X_{(3)}] = \int x f (x | x_{(1)}, x_{(3)}) d x

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \int x f(x| x_{(1)}, x_{(3)}) dx$

세부:

주문 통계의 밀도에 대한 일반 공식을 채택합니다 ( 로 세트 표시 ) $\mathbb{I}_{\{A\}}$ $A$

f_{x_{(1)}, \dots, x_{(n)}} (x_{1}, \dots, x_{n}) = n! \prod_{i = 1}^{n} f_{x} (x_{i}) I_{{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \dots \leq x_{(n)}}} (x_{1}, \dots, x_{n})

$f_{x_{(1)},\ldots , x_{(n)}}(x_1,\cdots, x_n) = n! \prod_{i=1}^n f_{x}(x_i)\mathbb{I}_{\{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\}}(x_1,\cdots, x_n)$

내 사건을 위해

f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}} (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 3! \frac{1}{θ^{3}} I_{{x_{1} \leq x_{2} \leq \dots \leq x_{n}}} (x_{1}, \dots, x_{3})

$f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(x_1, x_2, x_3) = 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\}}(x_1,\cdots, x_3)$

한계 는 $f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v)$

f_{x_{(1)}, x_{(3)}} (u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}} (u, x_{2}, v) d x_{2}

$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(u, x_2, v) dx_2$

그건

f_{x_{(1)}, x_{(3)}} (u, v) = \int 3! \frac{1}{θ^{3}} I_{{x_{1} = u \leq x_{2} \leq x_{3} = v}} (u, x, v) d x = 3! \frac{1}{θ^{3}} [v - u]

$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 = u \leq x_2 \leq x_3 = v\}}(u, x, v) dx = 3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]$

그 때문에

에프 ({엑스}_{(2)} | {엑스}_{(2)} = 유, {엑스}_{(삼)} = V) = \frac{에프 ({엑스}_{(1)} = 유, {엑스}_{(2)}, {엑스}_{(삼)} = V)}{에프 ({엑스}_{(1)} = 유, {엑스}_{(삼)} = V)} = \frac{삼! \frac{1}{θ^{삼}} {나는}_{유 \leq {엑스}_{2} \leq \dots \leq V} (유, {엑스}_{2}, V)}{삼! \frac{1}{θ^{삼}} [V - 유]} = [V - 유]^{- 1} {나는}_{{유 < {엑스}_{2} < V}}

$f(x_{(2)}| x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{ f(x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f(x_{(1)}= u, x_{(3)} = v)} = \frac{3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{u \leq x_2 \leq \cdots \leq v}(u,x_2, v) }{3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]}= [v-u]^{-1}\mathbb{I}_{\{u<x_2<v\}}$

어느 것이

이자형 [{엑스}_{(2)} | {엑스}_{(1)} = 유, {엑스}_{(삼)} = V] = [V - 유]^{- 1} \int_{유}^{V} 엑스 디 엑스 = [V - 유]^{- 1} \frac{[V^{2} - 유^{2}]}{2} = \frac{유 + V}{2}

$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)} = u, X_{(3)} = v\right] = [v-u]^{-1}\int_{u}^{v} x dx = [v-u]^{-1}\frac{ [v^2 - u^2]}{2} = \frac{u+v}{2}$

uniform conditional-expectation order-statistics

— 그들
소스

난 당신이 무슨 짓을했는지 보지 못했지만, 당신의 대답을 얻었다 ,하지

\frac{u - v}{2}

$\frac{u - v}{2}$

\frac{u + v}{2}

$\frac{u + v}{2}$

— 마크 L. 스톤

@ MarkL.Stone 당신 말이 맞아 ... 정수, 마지막 줄 이 잘못 되었다는 것을 고쳤다 .

\int x d x

$\int x dx$

— 그들

때문에 모두 균일 한 분포를 가지고, 전체 (순서화) 변수는 독립적 인 것으로 가정되며, 간의 다른 순서 통계 거짓 와 , 갖는 절두 균일 분포 간격 됩니다. 그 의미는 분명히 , QED입니다. $X_i$ $X_{(1)}$ $X_{(3)}$ $X_{(2)}$ $[X_{(1)}, X_{(3)}]$ $(X_{(1)}+X_{(3)})/2$

공식 데모를 원한다면 가 절대적으로 연속 분포 인 iid 일 때 의 조건 밀도 (다른 모든 순서 통계에 대한 조건)는 은 잘린 분포입니다. ( 이면 은 되고, 이면 은 이됩니다. 이것은 순서 함수의 공동 pdf 에서 발췌 한 것 입니다. 예를 들어 조건부 밀도 정의와 함께 statistics $X_i$ $F$ $X_{(k)}$ $dF(x_k)/(F(x_{(k+1)}) - F(x_{(k-1)}))$ $k=1$ $F(x_{0})$ $0$ $k=n$ $F(x_{n+1})$ $1$

— 우버
소스

whuber, 를 쓸 때 X의 확률 밀도를 말합니다. 맞습니까?

d F (x_{k})

$dF(x_k)$

— 그들

네 맞습니다. 정의상, (기술적으로는 이것을 "밀도"가 아닌 "확률 요소"라고 불렀어야합니다.)

디 에프 (엑스) = \frac{디 에프}{디 엑스} (엑스) 디 엑스 .

$dF(x)=\frac{d F}{d x}(x)\,dx.$

— whuber