확률의 빈번한 정의; 공식적인 정의가 있습니까?

``확률 ''에서 빈번한 사람들이 이해하는 것에 대한 공식적인 (수학적) 정의가 있습니까? 나는 그것이``장기적으로 ''상대적 발생 빈도라는 것을 읽었지만 그것을 정의하는 공식적인 방법이 있습니까? 해당 정의를 찾을 수있는 알려진 참조가 있습니까?

편집하다:

잦은 주의자 (@whuber의 의견 및 해당 답변 아래의 @Kodiologist 및 @Graeme Walsh에 대한 나의 의견 참조)는이 장기적인 상대 빈도가 존재한다는``믿음 ''을 의미합니다. 어쩌면 이것은 (일부) @Tim의 질문에 대답합니다.

TL; DR 완전히 원형이 아닌 (즉, 순환 논리의 관점에서) Kolmogorov 프레임 워크와 일치하는 확률에 대한 빈번한 정의를 정의하는 것이 가능하지 않은 것 같습니다.

너무 오래 걸리지 않아서 읽었습니다. 후보 잦은 확률의 확률 정의에서 잠재적 인 문제로보고있는 것을 다루고 싶습니다 .

$$\underset{n \to \infty}{\lim} \frac{n_A}{n}$$ 먼저, 는 랜덤 변수로만 합리적으로 해석 될 수 있으므로 위의 표현은 엄격한 의미로 정확하게 정의되지 않습니다. 확률 변수, 분포, 평균 또는 평균 제곱으로이 확률 변수에 대한 수렴 모드를 지정해야합니다.$n_A$

그러나 이러한 모든 수렴 개념은 확률 공간에 대한 측정 값이 의미있는 것으로 정의되어야합니다. 물론 직관적 인 선택은 컨버전스를 거의 확실하게 선택하는 것입니다. 측정 값이 0 인 경우를 제외하고 한계가 포인트 단위로 존재해야하는 기능이 있습니다. 측정 값 세트 0을 구성하는 것은 서로에 대해 절대적으로 연속적인 측정 값 패밀리와 일치합니다. 이는 거의 확실하게 수렴 개념을 정의하여 위의 한계를 엄격하게 만드는 반면 기본이되는 내용에 대해서는 다소 무의미합니다. 측정 가능한 사건 공간에 대한 척도는 (즉, 선택된 척도에 대해 절대적으로 연속적인 척도가 될 수 있기 때문). 이것은 주어진 측정 값을 미리 고정시키는 정의에서 원 형성을 방지 할 것입니다.

그러나 우리가 거의 확실하게 수렴을 사용한다면, 그것은 우리가 많은 수의 강력한 법 (이후 SLLN)의 상황에 국한되고 있음을 의미합니다. 여기서 인용을 위해 정리 (정의 133쪽에 주어진)를 다음과 같이 말하겠다.

하자 독립 동일하게 분포 확률 변수의 순서합니다. 그런 다음 곳 .$\{X_n\}$

$$\mathbb{E}|X_1| < \infty \implies \frac{S_n}{n} \to \mathbb{E}(X_1)\quad a.s.$$ $$\mathbb{E}|X_1| = \infty \implies \underset{n \to \infty}{\lim\sup}\frac{|S_n|}{n} = + \infty \quad a.s.$$ $S_n:= X_1 + X_2 + \dots + X_n$

따라서 측정 가능한 공간 있고 상호 절대적으로 연속적인 확률 척도 일부 패밀리와 관련하여 이벤트 의 확률을 정의하려고합니다. . 그런 다음 Kolmogorov 확장 정리 또는 Ionescu Tulcea 확장 정리 (두 작업 모두 가능하다고 생각)를 통해 제품군 공간을 구성 할 수 있습니다. , 각 에 대해 . (Kolgogorov의 정리의 결론 인 무한한 제품 공간의 존재는 각 공간의 측정 값이 이어야 하므로, 이제 임의의 측정 값 대신 확률로 제한하는 이유에 유의하십시오 ). 그런 다음 정의$(X, \mathscr{F})$$A \in \mathscr{F}$$\{\mu_i\}_{i \in I}$$\{(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i\}_{i \in I}$$\mu_i$$1$$\mathbb{1}_{A_j}$ 는 인디케이터 랜덤 변수입니다. 즉 , 번째 사본 에서 가 발생 하면 , 그렇지 않으면 즉,그런 다음 (여기서 는 대한 기대 값을 )이므로 많은 수의 강력한 법칙은 실제로 적용 (때문에 건축 자재로$1$$A$$j$$0$

$$n_A = \mathbb{1}_{A_1} + \mathbb{1}_{A_2} + \dots + \mathbb{1}_{A_n}.$$ $0 \le \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_j} \le 1$$\mathbb{E}_i$$\mu_i$$(\prod_{j=1}^{\infty} X_j)_i$$\mathbb{1}_{A_j}$동일하고 독립적으로 분포됩니다. 독립적으로 분포된다는 것은 제품 공간의 측정 값이 좌표 측정 값에 비해 곱하기 때문입니다.) 따라서 우리는 따라서 대한 의 확률에 대한 정의 는 당연히 이어야합니다 . $$\frac{n_A}{n} \to \mathbb{E}_i \mathbb{1}_{A_1} \quad a.s.$$ $A$$\mu_i$$\mathbb{E}_1 \mathbb{1}_{A}$

그러나 난 단지 임의의 변수 이 에 대해 거의 확실하게 수렴하더라도 대해 거의 확실하게 수렴하는 경우에만 , 여기서 ) 반드시 동일한 값으로 수렴한다는 것을 의미하지는 않습니다 . 실제로 SLLN은 일반적으로 사실이 아닌 가 아니라면 하지 않습니다.$\frac{n_A}{n}$$\mu_{i_1}$$\mu_{i_2}$$i_1, i_2 \in I$$\mathbb{E}_{i_1} \mathbb{1}_A = \mathbb{E}_{i_2} \mathbb{1}_A$

만약 가 어떻게 든 "정규적"이라면, 유한 한 세트에 대한 균일 한 분포와 같이 말하지만, 이것은 잘 작동하지만 새로운 통찰력을주지는 않을 것입니다. 특히, 균일 분포, ,의, 즉 확률 에서 포인트 나 초등학교 사건의 단지 비율입니다 하는 에 속하는데 , 다시 나에게 다소 원형 인 것처럼 보입니다. 연속 확률 변수 위해 나는 우리가 이제까지의 "표준"선택에 동의 할 수있는 방법을 볼 수 없습니다 .$\mu$$\mathbb{E}\mathbb{1}_A = \frac{|A|}{|X|}$$A$$X$$A$$\mu$

즉, 사건의 빈도를 사건의 확률로 정의하는 것이 합리적 인 것처럼 보이지만 사건의 확률을 빈도 (최소한 원형이 아닌)로 정의하는 것은 의미가있는 것처럼 보이지 않습니다. 현실에서 우리는 실제로 확률이 무엇인지 알지 못하기 때문에 이것은 특히 문제가됩니다. 우리는 그것을 추정해야합니다.

또한 측정 가능한 공간의 하위 집합에 대한 주파수 정의는 확률 공간 인 선택된 측정 값에 따라 달라집니다. 예를 들어 Lebesgue 측정 값이 부여 된 수많은 사본에 대한 제품 측정 값이 없습니다 . 마찬가지로, 정식 곱 측정 값을 사용하는 측정 값은 . 이는 경우 무한대로 증가 하거나 0 인 경우 , 즉 Kolmogorov와 Tulcea의 확장 정리는 확률 측정에 고유 한 매우 특별한 결과 입니다.$\mathbb{R}$$\mu(\mathbb{R})=\infty$$\prod_{j=1}^n X$$(\mu(X))^n$$\mu(X) >1$$\mu(X) <1$

나는 수학적 정의가 없다고 생각합니다. 확률에 대한 다양한 해석의 차이는 확률이 수학적으로 정의되는 방식의 차이가 아닙니다. 확률 수학적 이러한 방식으로 정의 될 수있다 : 만약 갖는 계수 공간 , 그 다음 모든 이벤트의 확률 그냥 . 이 정의가 우리가 확률을 빈번한 방식으로 또는 베이지안 방식으로 해석해야하는지 여부와 같은 질문에 중립적이라는 데 동의하기를 바랍니다.$(Ω, Σ, μ)$$μ(Ω) = 1$$S ∈ Σ$$μ(S)$