베타 분포의 두 Quantile이 매개 변수를 결정합니까?

열린 간격 두 개의 Quantile 과 해당 위치 (각각) 를 제공하면 지정된 위치에 해당 Quantile이있는 베타 분포의 매개 변수를 항상 찾을 수 있습니까?$(q_1,q_2)$$(l_1,l_2)$$(0,1)$

데이터가 명백한 일관성 요구 사항을 충족한다면 대답은 그렇습니다 . 간단한 구성에 기반한 주장은 간단하지만 설정이 필요합니다. 베타 분포 에서 모수 를 증가 시키면 밀도 값이 작은 보다 큰 대해 더 증가합니다 . 를 증가 시키면 반대의 결과가 나타납니다. 가 작을수록 PDF 값이 증가합니다.$a$$(a,b)$$x$$x$$b$$x$

자세한 내용은 다음과 같습니다.

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하자 소망 분위수 BE 원하는 분위수 수 와 및 (따라서) . 그리고 독특한있다 와 베타에 대한이$q_1$$x_1$$q_2$$x_2$$1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$$1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$$a$$b$$(a,b)$ 분포에는 이러한 Quantile이 있습니다.

이를 입증하기 어려운 점은 베타 배포판에 recalcitrant 정규화 상수가 포함된다는 것입니다. 정의를 기억하십시오 :$a\gt 0$ 과 $b \gt 0$베타$(a,b)$ 분포에는 밀도 함수가 있습니다 (PDF)

$$f(x;a,b) = \frac{1}{B(a,b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}.$$

정규화 상수는 베타 함수입니다.

$$B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,\mathrm{d}x = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$

우리가 차별화하려고하면 모든 것이 지저분 해집니다. $f(x;a,b)$ 직접적으로 $a$ 과 $b$이는 시연을 시도하는 무차별 한 방법입니다.

베타 함수를 분석하지 않아도되는 한 가지 방법은 Quantile이 상대 영역 이라는 점에 주목하는 것 입니다. 그건,

$$q_i = F(x_i;a,b)=\frac{\int_0^{x_i} f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}$$

...에 대한 $i=1,2$. 예를 들어 PDF 및 누적 분포 함수 (CDF)는 다음과 같습니다.$F$ 베타$(1.15, 0.57)$ 배포 $x_1=1/3$ 과 $q_1=1/6$.

밀도 함수 $x\to f(x;a,b)$ 왼쪽에 플롯됩니다. $q_1$는 IS 영역 의 왼쪽 커브는 아래$x_1$곡선 아래의 총 면적을 기준으로 빨간색 으로 표시됩니다 . $q_2$ 왼쪽 영역입니다 $x_2$, 다시 전체 면적을 기준으로 빨간색과 파란색 영역의 합과 같습니다 . 오른쪽의 CDF는$(x_1,q_1)$ 과 $(x_2,q_2)$ 그 위에 두 가지 뚜렷한 점을 표시하십시오.

이 그림에서 $(x_1,q_1)$ 에 고정되었다 $(1/3,1/6)$, $a$ 로 선정되었다 $1.15$, 그리고 값 $b$ 에 대한 발견 $(x_1,q_1)$ 베타에있다$(a,b)$ CDF.

렘마 : 그런$b$ 항상 찾을 수 있습니다.

구체적으로, $(x_1, q_1)$한 번에 고정하십시오. (다음 그림에서 동일하게 유지됩니다. 세 경우 모두 왼쪽의 상대 영역$x_1$ 같다 $q_1$.) 어떠한 것도 $a\gt 0$Lemma는 고유 한 가치가 있다고 주장합니다. $b$작성 $b(a),$ 어떤 $x_1$ 입니다 $q_1$ 베타의 Quantile$(a,b(a))$ 분포.

이유를 보려면 먼저 $b$ 0에 가까워 질수록 모든 확률은 $0$언제 $F(x_1;a,b)$ 구혼 $1$. 같이$b$ 무한대에 가까워 질수록 모든 확률은 $1$언제 $F(x_1;a,b)$ 구혼 $0$. 그 사이에 기능 $b\to F(x_1;a,b)$ 엄격히 증가하고 있습니다 $b$.

이 주장은 기하학적으로 명백합니다. 곡선 아래에서 왼쪽 영역을 보면 $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ 커브 아래의 총 면적을 기준으로하고 커브 아래의 상대 면적과 비교합니다$x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ ...에 대한 $b^\prime \gt b$그러면 후자의 영역이 상대적으로 더 큽니다. 이 두 기능의 비율은$(1-x)^{b^\prime-b}$. 이것은 같은 기능입니다$1$ 언제 $x=0,$ 꾸준히 떨어지는 $0$ 언제 $x=1.$ 따라서 기능의 높이 $x\to f(x;a,b^\prime)$있는 비교적 대형 의 높이보다$x\to f(x;a,b)$ ...에 대한 $x$ 왼쪽에 $x_1$ 그들보다 $x$ 오른쪽에 $x_1.$ 결과적으로 왼쪽 영역$x_1$전자의 경우 오른쪽의 면적보다 상대적으로 커야 합니다.$x_1.$ 예를 들어 리만 합계를 사용하여 엄격한 논증으로 변환하는 것은 간단합니다.

우리는 그 기능이 $b\to f(x_1;a,b)$ 의 값을 제한하여 엄격하게 단조 증가합니다. $0$ 과 $1$ 같이 $b\to 0$ 과 $b\to\infty,$각기. 또한 (명확하게) 연속적입니다. 결과적으로 숫자가 있습니다$b(a)$ 어디 $f(x_1;a,b(a))=q_1$ 그리고 그 숫자는 독창적이며, 정리가 증명됩니다.

같은 주장은 $b$ 왼쪽 영역이 증가합니다 $x_2$증가합니다. 결과적으로$f(x_2;a, b(a))$ 숫자의 간격에 따라 $a$ 거의에서 진행 $0$ 거의 $\infty.$ 의 한계 $f(x_2;a,b(a))$ 같이 $a\to 0$ 이다 $q_1.$

여기에 예가 있습니다 $a$ ~에 가깝다 $0$ (이것은 $0.1$). 와$x_1=1/3$ 과 $q_1=1/6$ (이전 그림과 같이) $b(a) \approx 0.02.$ 사이에 영역이 거의 없습니다 $x_1$ 과 $x_2:$

CDF는 실제로 평평하다 $x_1$ 과 $x_2,$ 어떻게 $q_2$ 실제로 위에 $q_1.$ 한도에서 $a\to 0$, $q_2 \to q_1.$

다른 극단에서 충분히 큰 값은 $a$ 이어지다 $F(x_2;a,b(a))$ 임의로 가까이 $1.$ 다음은 예제입니다 $(x_1,q_1)$ 이전과.

여기 $a=8$ 과 $b(a)$ 거의 $10.$ 지금 $F(x_2;a,b(a))$ 본질적으로 $1:$ 오른쪽에 거의 지역이 없습니다 $x_2.$

따라서, 당신은 선택할 수 하나를 $q_2$ 중에서 $q_1$ 과 $1$ 조정 $a$ ...까지 $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ 전과 마찬가지로 $a$고유 한 QED 여야합니다 .

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R솔루션을 찾기위한 작업 코드는 베타 배포 매개 변수 결정에 게시되어 있습니다.$\alpha$ 과 $\beta$두 개의 임의의 점 (사 분위수)에서 .