mean = mode는 대칭 분포를 의미합니까?

이 질문에 mean = median 사례가 있었지만 mean = mode와 관련된 것을 찾지 못했습니다.

모드가 평균과 같으면 항상 이것이 대칭 분포라는 결론을 내릴 수 있습니까? 이 방식의 중앙값도 알아야합니까?

평균 = 모드는 대칭을 의미하지 않습니다.

평균 = 중앙값 = 모드 인 경우에도 반드시 대칭은 아닙니다.

그리고 잠재적 인 후속 조치를 예상 할 때-mean = median = mode 이고 세 번째 중심 모멘트가 0 (모멘트 왜곡률이 0) 인 경우 에도 여전히 대칭성을 가질 필요는 없습니다.

...하지만 그에 대한 후속 조치가있었습니다. NickT는 모든 홀수 모멘트 0이 대칭을 요구하기에 충분한 지 의견을 물었습니다. 그것에 대한 대답 또한 '아니오'입니다. [끝 부분의 토론을보십시오. † ]$^\dagger$

이러한 다양한 것들이 모두 대칭에 의해 암시되지만 (관련 순간이 한정되어 있다고 가정 할 때) 그 의미는 다른 방식으로 진행되지 않습니다.

반례는 구성하기가 쉽지 않습니다.

다음과 같은 개별 분포를 고려하십시오.

  x     -4    0    1    5
P(X=x)  0.2  0.4  0.3  0.1

평균, 중앙값, 모드 및 세 번째 중심 모멘트 (따라서 모멘트 왜곡)는 모두 0이지만 비대칭입니다.

이러한 종류의 예는 순전히 연속 분포로도 수행 할 수 있습니다. 예를 들어, 동일한 속성을 가진 밀도는 다음과 같습니다.

이것은 -6, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 5의 수단과 혼합 중량 0.08, 0.08, 0.12, 0.08, 0.28, 0.08을 갖는 대칭 삼각형 밀도 (각각 범위 2)의 혼합물입니다. , 0.08, 0.20. 내가 지금까지 본 적이없는 사실은이 사례가 얼마나 간단한지를 암시합니다.

[저는 모드가 시각적으로 명확 해 지도록 삼각 혼합 성분을 선택했습니다. 더 부드러운 분포가 사용될 수있었습니다.]

다음은 이러한 조건을 통해 대칭에서 얼마나 멀리 떨어져 있는지에 대한 Hong Ooi의 질문을 해결하기위한 별도의 예입니다. 이것은 결코 제한적인 사례가 아니며 덜 대칭적인 예를 만드는 것이 간단하다는 것을 보여줍니다.

   x    -2    0    1    6
P(X=x) 0.175 0.5  0.32 0.005

0에서의 스파이크는 조건을 변경하지 않고 비교적 높거나 낮게 만들 수 있습니다. 유사하게 오른쪽과 오른쪽으로 포인트를 1과 -2에서 상대 높이를 크게 변경하지 않고 더 멀리 배치 할 수 있습니다 (즉, 오른쪽으로 이동할 때 상대 확률은 2 : 1 비율에 가깝게 유지됩니다) 요소 약).

NickT의 질문에 대한 답변에 대한 자세한 내용

$\dagger$

나는 그 분포를 대칭이라고 부르지 않을 것이다.

아니.

$X$$p(X = -2) = \tfrac{1}{6}$$p(X = 0) = \tfrac{1}{2}$$p(X = 1) = \tfrac{1}{3}$$X$

내가 다른 곳에 답변을 반복 하지만 여기에도 적합합니다.

평균, 중앙값 및 모드가 모두 같을뿐 아니라 왜도가 없습니다. 다른 많은 버전이 가능합니다.