코시 분포의 표본 평균 분포는 무엇입니까?

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일반적으로 분포의 표본 평균이 임의보다 크면 (샘플 크기가 30보다 큼) 평균값을 중심으로 정규 분포를 얻습니다. 그러나 Cauchy 분포는 평균 가치가 없다고 들었습니다. Cauchy 분포의 표본 평균을 얻을 때 어떤 분포를 얻습니까?

기본적으로 코시 분포 $\mu_x$ 정의되어 있지 않습니다. $\mu_{\bar{x}}$ 그리고 분포는 무엇입니까 $\bar{x}$ ?

cauchy

— 스티븐 스튜어트 갈루스
소스

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로부터 위키 백과 페이지 , 그것은 샘플 자체와 동일한 분포를했을 IID 코시 변수의 표본 평균 것 같습니다.

— GeoMatt22

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만약 $X_1, \ldots, X_n$ 아이드 코시 $(0, 1)$ 우리는 그것을 보여줄 수 있습니다 $\bar{X}$ 또한 코시입니다 $(0, 1)$ 특성 함수 인수를 사용하여 :

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{i t \bar{X}}) \\ = E (\prod_{j = 1}^{n} e^{i t X_{j} / n}) \\ = \prod_{j = 1}^{n} E (e^{i t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{i t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

이는 표준 코시 분포의 특징적인 기능입니다. 더 일반적인 코시의 증거 $(\mu, \sigma)$ 경우는 기본적으로 동일합니다.

— dsaxton
소스

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일부 세부 사항을 연결하는 데 문제가있는 사람들을 돕기 위해 두 번째 줄부터 세 번째 줄까지의 단계는 독립성을 사용하고 다음 단계는 "동일하게 배포 된"을 사용하고 다음 단계는 여러 가지 방법으로 수행 할 수 있지만 가장 쉬운 방법은 권력 내부의 기대는 Cauchy cf에 대한 기대와 동일하지만

t / n

$t/n$ 따라서 (Cauchy의 CF를 이미 알고 있다면)

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$ 그런 다음

n

$n$ 전원 차단

n

$n$ 조건이 취소됩니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

다른 답변에서도 이것이 안정적인 분포 임을 의미한다고 설명했습니다 .

— Apollys 모니카 지원

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일반적으로 분포의 표본 평균이 임의보다 크면 (샘플 크기가 30보다 큼) 평균값을 중심으로 정규 분포를 얻습니다.

정확히. 당신은 중심 제한 정리를 생각하고 있습니다. $X_n$ 유한 분산을 갖는 IID 랜덤 변수의 집합 (자체는 유한 평균을 의미 함) $μ$ ), 표현식 $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ 다음과 같이 정규 분포로 분포가 수렴합니다. $n$ 무한대로 간다. 변수의 유한 서브 세트의 표본 평균이 정규 분포를 보장한다는 보장은 없습니다.

그러나 Cauchy 분포는 평균 가치가 없다고 들었습니다. Cauchy 분포의 표본 평균을 얻을 때 어떤 분포를 얻습니까?

GeoMatt22가 말했듯이 샘플 수단 자체는 Cauchy가 배포됩니다. 다시 말해, Cauchy 분포는 안정적인 분포입니다 입니다.

중심 한계 정리는 유한 평균 및 분산이 없기 때문에 Cauchy 분산 랜덤 변수에는 적용되지 않습니다.

— 코디과
소스

내 의견은 샘플 평균이 동일한 매개 변수를 갖기 때문에 "샘플 평균도 Cauchy"보다 약간 강합니다 . 즉, 정규 분포의 경우와 같이 위치 모수는 동일하지만 보통의 경우와 달리 척도 모수도 동일합니다 (보통의 경우 척도는

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$ ). 적어도 이것은 내 링크에 나열된 첫 두 가지 변환 속성에 대한 나의 해석입니다.

— GeoMatt22

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" 첫 번째 n 요소의 표본 평균은 n이 무한대로 가면서 정규 분포로의 분포가 수렴됩니다 ... ... 정확하게는 아닙니다. CLT에 필요한 것보다 약한 조건에서는 평균 자체가 상수에 수렴됩니다.

μ

$\mu$ (많은 숫자의 약한 법으로). 정규 분포에 수렴하려면 평균을 표준화해야합니다.

— Glen_b-복지 주 모니카

@DilipSarwate가 수정되었습니다. 다른 사람의 답변을 편집 할 수 있다는 것을 잊지 마십시오.

— Kodiologist