확률 밀도 함수의 변수 변화의 유도?

책 패턴 인식 및 기계 학습 (공식 1.27)에서

$$p_y(y)=p_x(x) \left | \frac{d x}{d y} \right |=p_x(g(y)) | g'(y) |$$ 여기서 , 는 변수의 변경과 관련하여 해당하는 pdf입니다 .$x=g(y)$$p_x(x)$$p_y(y)$

이 책은 범위 속하는 관측 값이 작은 값의 경우 범위 로 변환되기 때문이라고합니다 .$(x, x + \delta x)$$\delta x$$(y, y + \delta y)$

이것은 공식적으로 어떻게 도출됩니까?

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Dilip Sarwate에서 업데이트

가 엄격하게 모노톤 증가 또는 감소 함수 인 경우에만 결과가 유지됩니다 .$g$

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LV Rao의 대답에 대한 약간의 편집 따라서 가 단조 증가하면 단조롭게 감소하는 경우 g F Y ( y ) = F

$$\begin{equation} P(Y\le y) = P(g(X)\le y)= \begin{cases} P(X\le g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically increasing} \\ P(X\ge g^{-1}(y)), & \text{if}\ g \text{ is monotonically decreasing} \end{cases} \end{equation}$$ $g$F Y ( Y ) = F X ( g - 1 ( Y ) ) ⋅ $$F_{Y}(y)=F_{X}(g^{-1}(y))$$ FY(Y는)=1-FX(g-1(예를))f를Y(Y)=-FX(g-1(Y))⋅ $$f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$F_{Y}(y)=1-F_{X}(g^{-1}(y))$$ $$f_{Y}(y)=- f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y)$$ $$\therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y)) \cdot \left | \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \right |$$

가 f (x) 인 연속 랜덤 변수 라고 가정 합니다. 우리가 정의하면 g ()는 다음 단조 함수이다 의 다음과 같이 얻어진다 : wrt 와 함께 양쪽에서 CDF를 차별화하여 의 pdf를 얻습니다 . 함수 g ()는 단조 증가 또는 단조 감소 일 수 있습니다. 함수 g ()가 단조 증가하면 의 pdf는 다음과 같이 주어집니다. $X$pdf$Y=g(X)$pdf$Y$

$$\begin{eqnarray*} P(Y\le y) &=& P(g(X)\le y)\\ &=& P(X\le g^{-1}(y))\\ or\;\;F_{Y}(y)&=& F_{X}(g^{-1}(y)),\quad \mbox{by the definition of CDF}\\ \end{eqnarray*}$$ $y$$Y$$Y$YfY(y)=−fX(g-1(y))⋅ $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ 는 단조롭게 감소하는 경우 한편은, 다음의 PDF 주어진다 위의 두 방정식을 단일 방정식으로 결합 할 수 있습니다. $Y$∴fY(y)=fX(g-1(y))⋅| $$\begin{equation*} f_{Y}(y)= - f_{X}(g^{-1}(y))\cdot \frac{d}{dy}g^{-1}(y) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \therefore f_{Y}(y) = f_{X}(g^{-1}(y))\cdot |\frac{d}{dy}g^{-1}(y)| \end{equation*}$$