AR (1) 계수의 OLS 추정기가 바이어스되는 이유는 무엇입니까?

OLS가 AR (1) 프로세스의 바이어스 추정기를 제공하는 이유를 이해하려고합니다. 고려 이 모델에서는 엄격한 외 생성이 위반됩니다. 즉, 와 는 상관되지만 과 는 상관되지 않습니다. 그러나 이것이 사실이라면 왜 다음과 같은 간단한 파생이 이루어지지 않습니까?

$$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$$ $y_t$$\epsilon_t$$y_{t-1}$$\epsilon_t$ $$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$$

의견에서 본질적으로 논의 된 바와 같이, 편견은 유한 한 표본 속성이며, 보유한 경우 다음과 같이 표현됩니다.

$$E (\hat \beta ) = \beta$$

(여기서 기대 값은 유한 표본 분포의 첫 번째 순간입니다)

일관성은 다음과 같이 표현되는 점근 적 특성입니다.

$$\text{plim} \hat \beta = \beta$$

OP는 이러한 맥락에서 OLS가 바이어스되었지만 여전히 일관성이 있음을 보여줍니다.

$$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$$

여기에 모순이 없습니다.

@Alecos는 왜 올바른 plim과 unbiasedbes가 같지 않은지를 잘 설명합니다. 추정기가 편향되지 않은 근본 원인에 대해, 추정 자의 편견을 없애기 위해서는 모든 오차 항이 모든 회귀 값 독립적 인 평균 이어야 함을 기억 하십시오 .$E(\epsilon|X)=0$

이 경우 회귀 행렬은 값으로 구성 되므로 mpiktas의 설명을 참조하십시오. 조건은 모든 대해 입니다 .$y_1,\ldots,y_{T-1}$$E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$$s=2,\ldots,T$

여기, 우리는

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$$ 가정 하에서도 우리가 가지고 그러나 는 .$E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$ $$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$$ $y_t$$y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$

두 가지 좋은 답변으로 확장. OLS 견적서를 작성하십시오.

$$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$$

편견을 위해 우리는 필요합니다

$$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$$

그러나이를 위해서는 각 에 대해 필요합니다 . AR (1) 모델의 경우 가 미래 값 와 관련되어 있기 때문에 이것은 분명히 실패합니다 .$E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$$t$$\varepsilon_t$$y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$