누군가는 왜도는 0이지만 대칭이 아닌 단봉 분포의 예를 제공 할 수 있습니까?

2010 년 5 월 위키 백과 사용자 인 Mcorazao 는 "이 값이 0이면 값이 평균의 양쪽에 비교적 고르게 분포되어 있지만 반드시 대칭 분포를 암시하지는 않는다" 는 문장을 왜곡 기사에 추가했습니다 . 그러나 위키 페이지에는이 규칙을 위반하는 실제 배포 예제가 없습니다. 인터넷 검색 "비대칭 분포가 0 인 비대칭 분포의 예"는 적어도 처음 20 개 결과에서 실제 예를 제공하지 않습니다.

기울기 계산은 및 R 공식$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$

sum((x-mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)

왜도를 낮추기 위해 작은 임의 분포를 구성 할 수 있습니다. 예를 들어 분포

x = c(1, 3.122, 5, 4, 1.1) 

의 스큐를 생성합니다 . 그러나 이것은 작은 표본이며 대칭과의 편차가 크지 않습니다. 그렇다면, 비대칭 성이 높지만 여전히 0의 왜도를 갖는 하나의 피크로 더 큰 분포를 구성 할 수 있습니까?$-5.64947\cdot10^{-5}$

불연속 분포를 고려하십시오. 지원 하나 값 음이 아닌 확률에 의해 결정된다 (a)가 (1) 및 (b)에 비대칭 계수 같음 합산하는 조건에 따라 0 (세번째 중심 모멘트가 0 임). 그것은 자유도를 남깁니다 (방정식이 아니라 방정식 해결 의미로!). 우리는 단조로운 솔루션을 찾을 수 있기를 바랍니다.x 1 , x 2 , … , x k p 1 , p 2 , … , p k k - $k$$x_1, x_2,\ldots, x_k$$p_1, p_2,\ldots, p_k$$k-2$

예제를 더 쉽게 검색하기 위해 고유 모드가 인 작은 대칭 벡터 에서 지원되는 솔루션을 찾았습니다. , 제로 왜곡. 그러한 해결책 중 하나는 입니다.0 ( P 1 , ... , P 7 ) = ( 1,396 , 3,286 , 9,586 , 47,386 , 8,781 , 3,930 , 1,235 ) /$\mathbf{x}=(-3,-2,-1,0,1,2,3)$$0$$(p_1, \ldots, p_7) = (1396, 3286, 9586, 47386, 8781, 3930, 1235)/75600$

비대칭임을 알 수 있습니다.

다음은 (비대칭)이고 명백한 비대칭 솔루션입니다 .p = ( 1 , 18 , 72 , 13 , 4 ) /$\mathbf{x} = (-3,-1,0,1,2)$$p = (1,18, 72, 13, 4)/108$

지금은 무슨 일인지 분명 : 평균 등호 때문에 , 음의 값은 기여 과 세 번째 순간에 양의 값 기여하면서 및 이므로 마이너스 기여도의 균형을 맞 춥니 다. 과 함께 과 같은 에 대한 대칭 분포를 에서 약간의 질량을 이동할 수 있습니다 행 에서 작은 질량 까지 다운 , 대량 소량 아래로( − 3 ) 3 = − 27 18 × ( − 1 ) 3 = − 18 4 × 2 3 = 32 13 × 1 3 = 13 0 x = ( − 1 , 0 , 1 ) p = ( 1 , 4 , 1 ) / 6 + 1 + 2 + 1 − $0$$(-3)^3=-27$$18 \times (-1)^3=-18$$4\times 2^3 = 32$$13 \times 1^3 = 13$$0$$\mathbf{x}=(-1,0,1)$$\mathbf{p}=(1,4,1)/6$$+1$$+2$$+1$$-1$0 $-3$비대칭을 만드는 동안 평균은 으로, 왜도는 으로 유지합니다 . 동일한 접근 방식은 연속 분포의 평균이 0이고 왜도가 비대칭으로 유지되도록 작동합니다. 우리가 대중 이동에 너무 공격적이지 않으면 단조로운 상태로 남아있을 것입니다.$0$$0$

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편집 : 연속 분포

문제가 계속 발생하므로 지속적인 분포를 사용하여 명확한 예를 들어 보겠습니다. Peter Flom은 좋은 생각을 가지고있었습니다 : 법선의 혼합을보십시오. 두 법선의 혼합은 수행하지 않습니다. 왜도가 사라지면 대칭입니다. 다음으로 가장 간단한 경우는 3 개의 법선이 혼합 된 것입니다.

적절한 위치와 스케일을 선택한 후 3 개의 법선의 혼합은 6 개의 실제 매개 변수 에 의존 하므로 비대칭의 제로 왜도 솔루션을 생성하기에 충분한 유연성을 가져야합니다. 일부를 찾으려면 법선 혼합의 왜도를 계산하는 방법을 알아야합니다. 이 중 단봉이 아닌 것을 검색합니다 (아무 것도 없을 수 있음).

이제, 표준 정규 분포 의 (비 중앙) 모멘트는 이 홀수 일 때 0 이고 그렇지 않으면 . 표준 편차가 인 표준 정규 분포를 재조정 할 때 모멘트에 곱합니다 . 분포를 만큼 새로운 순간은 까지의 모멘트로 표현 될 수 있습니다. r 2 r / 2 Γ ( 1 - $r^\text{th}$$r$ σrthσrμrth$2^{r/2}\Gamma\left(\frac{1-r}{2}\right)/\sqrt{\pi}$$\sigma$$r^\text{th}$$\sigma^r$$\mu$$r^\text{th}$$r$. 분포 혼합의 모멘트 (즉, 가중 평균)는 개별 모멘트의 동일한 가중 평균입니다. 마지막으로, 세 번째 중심 모멘트가 0 일 때 왜도는 제로이며, 이것은 처음 세 모멘트로 쉽게 계산됩니다.

이것은 우리에게 문제에 대한 대수적 공격을 제공합니다. 내가 찾은 한 가지 해결책은 매개 변수 가 , 및 인 세 법선의 균등 한 혼합입니다. . 평균은 입니다. 이 이미지는 pdf를 파란색으로, 분포의 pdf를 평균 으로 빨강으로 뒤집 었습니다 . 그것들이 다르다는 것은 둘 다 비대칭임을 보여줍니다. (이 모드는 약 의 평균과 다른 약 입니다.) 둘 다 구성에 의해 왜도가 없습니다 .( 0 , 1 ) ( 1 / 2 , 1 ) ( 0 , $(\mu, \sigma)$$(0,1)$$(1/2,1)$(0+1/2+0)/3=1/60.05192161/$(0, \sqrt{127/18}) \approx (0, 2.65623)$$(0 + 1/2 + 0)/3 = 1/6$$0.0519216$$1/6$

플롯은 이것이 단봉 형임을 나타냅니다. (미적분을 사용하여 미적분을 사용하여 확인할 수 있습니다.)

다음은 내가 https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html# 에서 찾은 것입니다 . 또는 모양 매개 변수 및 Dagum 분포 :c = $k=0.0629$$c=18.1484$

$$g(x) = ckx^{-(c+1)}[1+x^{-c}]^{-(k+1)}$$

평균 0.5387, 표준 편차 0.2907, 왜도 0.0000 및 첨도 2.0000입니다. 소스는 또한 이것을 "코끼리 분포"라고 부릅니다.

R에서의 나의 생식은

library(actuar)
library(knotR)

# a nonsymmetric distribution with zero skewness
# see https://www.qualitydigest.com/inside/quality-insider-article/problems-skewness-and-kurtosis-part-one.html#

c <- 18.1484
k <- 0.0629

x <- seq(0,1.5,by=.0001)

elephant.density <- dinvburr(x, k, c)
plot(x,elephant.density, type="l")
polygon(c(min(x),x),c(min(elephant.density),elephant.density), col="grey")
points(0.8,0.8, pch=19, cex=2)

# "ears" created via https://www.desmos.com/calculator/cahqdxeshd
ear.x <- c(0.686, 0.501, 0.42, 0.68)
ear.y <- c(0.698, 0.315, 1.095, 0.983)

myseg(bezier(cbind(ear.x, ear.y)), type="l")

EX <- gamma(k+1/c)*gamma(1-1/c)/gamma(k) # see p6 of https://wwz.unibas.ch/uploads/tx_x4epublication/23_07.pdf
EX2 <- gamma(k+2/c)*gamma(1-2/c)/gamma(k)
EX3 <- gamma(k+3/c)*gamma(1-3/c)/gamma(k)
(skewness <- (EX3 - 3*EX*(EX2-EX^2)-EX^3)/(EX2-EX^2)^(3/2)) # zero to three digits: 0.0003756196

이 출력에서 ​​볼 수 있듯이 이러한 매개 변수 값의 왜곡은 0에서 4 자리가 아닙니다. 다음은 와 대한 작은 최적화 프로그램입니다 .$k$$c$

   # optimize skewness a bit further
    skewval <- 1

while (skewval > 10^(-10)){
  optskew.k <- uniroot(skewness.fun, lower = k*.95, upper = k*1.1, tol=skewval^2, c=c)
  skewval <- optskew.k$f.root
  k <- optskew.k$root

  optskew.c <- uniroot(skewness.fun, lower = c*.95, upper = c*1.1, tol=skewval^2, k=k)
  skewval <- optskew.c$f.root
  c <- optskew.c$root
}

굽힐 수 있는

> print(c)
[1] 18.89306

> print(k)
[1] 0.05975542

> print(skewval)
[1] -1.131464e-15

실수 선의 양의 절반에 대한 분포를 고려하여 0에서 모드로 선형으로 증가한 다음 모드의 오른쪽에 지수 적이지만 모드에서는 연속적입니다.

이것을 삼각 지수 분포라고 할 수 있습니다 (상어 지느러미와 약간 비슷하지만).

하자 모드의 위치 및 수 지수의 레이트 파라미터 일.$\theta$$\lambda$

마찬가지로 증가 분포가 점진적으로 적게 경사진다. 마찬가지로 과거 증가 플러스로부터 마이너스로 제 모멘트 십자가 :λ θ ≈ $\lambda\theta$$\lambda\theta$$\approx 6.15$

Brizzi (2006) 는이 분포 군을 "양면"분포라고하며, 세 번째 모멘트 왜곡이 0 인이 교차점에 대해 설명합니다. 폰 Hippel (2005) 그 교차 지점에서 거의의 예를 제시 여기를[ 2 $^{[1]}$$^{[2]}$

스큐 및 제로 초과 첨도를 갖는 스레드 비정규 분포? 작은 불연속 예제와 다른 연속적인 예제를 포함하여 비대칭 예제가 있습니다.

왜도가없는 이산 단봉 분포 (또는 동등하게 샘플)는 크거나 작은 크기로 구성하기가 매우 쉽습니다.

다음은 샘플로 처리하거나 (원시 주파수를 3000으로 나눔) pmf ( 'x'값은 취한 값, 'n'은 샘플에서 값이 발생하는 횟수입니다)로 처리 할 수있는 예입니다. ) :

x:  -2   -1    0    1    2    3    4    5    6    7    8    9   10
n: 496  498  562 1434    2    1    1    1    1    1    1    1    1

이 예제는 3 점 분포로 구성됩니다.

x:          -2              1                  c
n:   c(c-1)(c+1)/6     c(c-1)(c+1)/3 - c       1

다양한 값에 걸쳐 (3) 및 (10) 사이의이 (의해 파라미터 "원자"3- 포인트)를 갖는다 및 선회 수단의 다양한 선택에 걸쳐 혼합물 것을, 제로가 왜도. 비대칭 성 및 세 번째 중심 모멘트가 0 인 3 개의 점에 대한 분포보다 작은 것을 만들 수는 없습니다. 이러한 점과 같이 몇 점에 걸친 간단한 조각 모음은 더 큰 구조물을 만들 수있는 깔끔한 빌딩 블록을 만듭니다.c ∑ i n i x i = 0 ∑ i n i x 3 i = 0 $c$$c$$\sum_i n_ix_i =0$$\sum_i n_ix_i^3 =0$$c$

이러한 "원자"는 구성 할 수있는 모든 방식이 있지만이 예에서는이 유형 만 사용합니다. 이와 같은 원자의 일부 조합에는 나머지 구멍을 채우고 평균 및 세 번째 모멘트의 구조를 파괴하지 않고 단일성을 보장하기 위해 대칭으로 배치 된 몇 가지 값이 추가됩니다.

$[1]$ Brizzi, M. (2006),
"삼각형과 지수 특징을 결합한 비대칭 모형 : 양측 분포와 통계적 속성"
Austrian Journal of Journal , 35 : 4, p455–462
http : //www.stat .tugraz.at / AJS / ausg064 /

$[2]$ von Hippel, PT (2005),
"평균, 중앙값 및 기울이기 : 교과서 규칙 수정"
통계 교육 저널 13 권 2 호
http://ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/ vonhippel.html

확실한. 이 시도:

skew= function (x, na.rm = FALSE) 
 {
    if (na.rm)    x <- x[!is.na(x)]             #remove missing values
    sum((x - mean(x))^3)/(length(x) * sd(x)^3)  #calculate skew   
 }

set.seed(12929883) 
x = c(rnorm(100, 1, .1), rnorm(100, 3.122, .1), rnorm(100,5, .1), rnorm(100, 4, .1), rnorm(100,1.1, .1))

 skew(x)
 plot(density(x))

(당신은 이미 어려운 일을했습니다!)

$$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] = 0$$ $$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big | X \leq \mu \Big] + \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{X-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big | X \gt \mu \Big] = 0.$$

$Y$$Z$$\mu$

$$\operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{Y-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big] = \operatorname{E}\Big[\big(\tfrac{Z-\mu}{\sigma}\big)^{\!3}\, \Big]$$ $X$$Y$$\mu$$(\mu - Z)$

$Y$$Z$$\mu$$\mu$

다음의 이산 분포는 비대칭이며 널 왜곡이 있습니다 : Prob (-4) = 1 / 3, Prob (1) = 1 / 2, Prob (5) = 1 / 6. Doric et al., Qual Quant (2009) 43 : 481-493; DOI 10.1007 / s11135-007-9128-9