이산 푸리에 변환이 푸리에 기준을 사용하여 회귀와 동일한 곡선 표현을 제공하는지 이해하려고합니다. 예를 들어

library(fda)
Y=daily$tempav[,1] ## my data
length(Y) ## =365

## create Fourier basis and estimate the coefficients
mybasis=create.fourier.basis(c(0,365),365)  
basisMat=eval.basis(1:365,mybasis)
regcoef=coef(lm(Y~basisMat-1))

## using Fourier transform
fftcoef=fft(Y)

## compare
head(fftcoef)
head(regcoef)

FFT는 복소수를 제공하지만 회귀는 실수를 제공합니다.

그들은 같은 정보를 전달합니까? 두 숫자 집합 사이에 일대일 맵이 있습니까?

(엔지니어의 관점이 아닌 통계학 자의 관점에서 답을 쓰면 감사하겠습니다. 많은 온라인 자료에는 엔지니어링 전문 용어가 있습니다.

그들은 동일합니다. 방법은 다음과 같습니다.

회귀 분석

모델에 적합하다고 가정합니다. 여기서 및 . 이것은 선형 회귀에 적합하지 않으므로 대신 삼각법 ( )을 사용하십시오. 동등한 모델 : 모든 푸리에 주파수에서 선형 회귀를 실행하면 은 베타 ( )의 베타를 제공합니다 : , 입니다. 어떤

$$y_t = \sum_{j=1}^n A_j \cos(2 \pi t [j/N] + \phi_j)$$ $t=1,\ldots,N$$n = \text{floor}(N/2)$$\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$ $$y_t = \sum_{j=1}^n \beta_{1,j} \cos(2 \pi t [j/N]) + \beta_{2,j}\sin(2 \pi t [j/N]).$$ $\{j/N : j = 1, \ldots, n \}$$2n$$\{\hat{\beta}_{i,j}\}$$i=1,2$$j$, 직접 쌍을 계산하려면 다음을 사용할 수 있습니다.

$$\hat{\beta}_{1,j} = \frac{\sum_{t=1}^N y_t \cos(2 \pi t [j/N])}{\sum_{t=1}^N \cos^2(2 \pi t [j/N])}$$ 및 이것들은 표준 회귀 공식입니다. $$\hat{\beta}_{2,j} = \frac{\sum_{t=1}^N y_t \sin(2 \pi t [j/N])}{\sum_{t=1}^N \sin^2(2 \pi t [j/N])}.$$

이산 푸리에 변환하기

푸리에 변환을 실행하면 대해 계산됩니다 .$j=1, \ldots, n$

$$\begin{align*} d(j/N) &= N^{-1/2}\sum_{t=1}^N y_t \exp[- 2 \pi i t [j/N]] \\ &= N^{-1/2}\left(\sum_{t=1}^N y_t\cos(2 \pi t [j/N]) - i \sum_{t=1}^N y_t\sin(2 \pi t [j/N])\right) . \end{align*}$$

이것은 복소수입니다 (공지 사항 ). 평등이 유지되는 이유를 보려면 , 및 .$i$$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$$\cos(-x) = \cos(x)$$\sin(-x) = -\sin(x)$

각 에 대해 복소 공액의 제곱을 취하면 " 주기도 "가 표시됩니다.$j$

$$|d(j/N)|^2 = N^{-1}\left(\sum_{t=1}^N y_t\cos(2 \pi t [j/N])\right)^2 + N^{-1}\left(\sum_{t=1}^N y_t\sin(2 \pi t [j/N])\right)^2.$$ R 에서이 벡터를 계산 I <- abs(fft(Y))^2/length(Y)하는 것은 스케일링해야하기 때문에 이상합니다.

또한 " 스케일링 된 주기도 "를 정의 할 수 있습니다. 분명히 . R에서는 이것이 될 것 입니다.

$$P(j/N) = \left(\frac{2}{N}\sum_{t=1}^N y_t \cos(2 \pi t [j/N]) \right)^2 + \left(\frac{2}{N}\sum_{t=1}^N y_t \sin(2 \pi t [j/N]) \right)^2.$$ $P(j/N) = \frac{4}{N}|d(j/N)|^2$P <- (4/length(Y))*I[(1:floor(length(Y)/2))]

둘 사이의 연결

회귀와 두 주기도 사이의 연결은 다음과 같습니다.

$$P(j/N) = \hat{\beta}_{1,j}^2 + \hat{\beta}_{2,j}^2.$$ 왜? 선택한 기준이 직교 / 직교 정규이기 때문입니다. 각 대해 입니다. 회귀 계수와 짜잔을 위해 공식의 분모에 연결하십시오.$j$$\sum_{t=1}^N \cos^2(2 \pi t [j/N]) = \sum_{t=1}^N \sin^2(2 \pi t [j/N]) = N/2$

출처 : https://www.amazon.com/Time-Analysis-Its-Applications-Statistics/dp/144197864X

그들은 강하게 관련되어 있습니다. 데이터를 포함하지 않았기 때문에 예제를 재현 할 수 없으므로 새로 작성하겠습니다. 우선, 주기적 함수를 만들어 봅시다 :

T <- 10
omega <- 2*pi/T
N <- 21
x <- seq(0, T, len = N)
sum_sines_cosines <- function(x, omega){
    sin(omega*x)+2*cos(2*omega*x)+3*sin(4*omega*x)+4*cos(4*omega*x)
}
Yper <- sum_sines_cosines(x, omega)
Yper[N]-Yper[1] # numerically 0

x2 <- seq(0, T, len = 1000)
Yper2 <- sum_sines_cosines(x2, omega)
plot(x2, Yper2, col = "red", type = "l", xlab = "x", ylab = "Y")
points(x, Yper)

이제 회귀에 대한 푸리에 기초를 만들어 봅시다. 그 양해와 , 정말 의미보다 더 만들 수없는 , 기저 함수, 즉 일정하지 않은 사인 및 코사인 때문에 높은 주파수 성분 이러한 그리드에서 별칭이 지정됩니다. 예를 들어, 주파수 의 사인은 원가 (사인)와 구별 할 수 없습니다. 의 경우 , 즉 . 당신이 한 번 확인하고 싶은 경우 어쨌든, 단지 변경 에 마지막 두 열에서 아래의 미리보기 및보기에 : 당신이 실제로 쓸모없는 것을 볼 수 있습니다 (그리고 디자인 매트릭스는 이제 단수이기 때문에 그들이 적합성에 대한 문제를 만들 ).$N = 2k+1$$N-2$$N-3=2(k-1)$$k\omega$$N=3$$k=1$N-2N

# Fourier Regression with fda
library(fda)
mybasis <- create.fourier.basis(c(0,T),N-2)
basisMat <- eval.basis(x, mybasis)
FDA_regression <- lm(Yper ~ basisMat-1)
FDA_coef <-coef(FDA_regression)
barplot(FDA_coef)

주파수는 정확히 올바른 주파수이지만 0이 아닌 성분의 진폭은 (1,2,3,4)가 아닙니다. 그 이유는 fda푸리에 기준 함수가 이상한 방식으로 확장되기 때문입니다. 일반적인 푸리에 기준 같이 최대 값은 1이 아닙니다 . 그것은 아니다 중 하나, 그것은 직교 푸리에 기준에 대한했을로, .${1,\sin{ \omega x},\cos{ \omega x},\dots}$$\frac{1}{\sqrt \pi}$${\frac{1}{\sqrt {2\pi}},\frac{\sin{ \omega x}}{\sqrt \pi},\frac{\cos{ \omega x}}{\sqrt \pi},\dots}$

# FDA basis has a weird scaling
max(abs(basisMat))
plot(mybasis)

당신은 분명히 그것을 본다 :

1. 최대 값은 보다 작습니다.$\frac{1}{\sqrt \pi}$
2. 푸리에 기준 (첫 번째 항으로 잘림 )에는 상수 함수 (검은 색 선), 증가하는 주파수의 사인 (도메인 경계에서 0과 같은 곡선) 및 증가하는 주파수의 코사인 ( 도메인 경계에서 1과 같음)$N-2$

에 의해 주어진 푸리에 기준을 간단히 스케일링하여 fda일반적인 푸리에 기준이 얻어 지면서 기대 값을 갖는 회귀 계수가됩니다.

basisMat <- basisMat/max(abs(basisMat))
FDA_regression <- lm(Yper ~ basisMat-1)
FDA_coef <-coef(FDA_regression)
barplot(FDA_coef, names.arg = colnames(basisMat), main = "rescaled FDA coefficients")

fft지금 시도해 봅시다 : Yper주기적인 순서이므로 마지막 점은 실제로 어떤 정보도 추가하지 않습니다 (시퀀스의 DFT는 항상 주기적입니다). 따라서 FFT를 계산할 때 마지막 지점을 버릴 수 있습니다. 또한 FFT는 DFT를 계산하는 빠른 수치 알고리즘 이며 실수 또는 복소수 시퀀스의 DFT는 복소수 입니다. 따라서 우리는 FFT 계수의 계수를 정말로 원합니다.

# FFT
fft_coef <- Mod(fft(Yper[1:(N-1)]))*2/(N-1)

푸리에 기준 와 동일한 스케일링을 갖기 위해 을 곱 합니다 . 스케일링하지 않았다면 여전히 올바른 주파수를 복구하지만 진폭은 이전에 찾은 것과 동일한 요인으로 스케일링됩니다. 이제 fft 계수를 플로팅 해 봅시다 :$\frac{2}{N-1}$${1,\sin{ \omega x},\cos{ \omega x},\dots}$

fft_coef <- fft_coef[1:((N-1)/2)]
terms <- paste0("exp",seq(0,(N-1)/2-1))
barplot(fft_coef, names.arg = terms, main = "FFT coefficients")

Ok : 빈도는 정확하지만 이제 기본 함수는 더 이상 죄와 코사인이 아닙니다 (복잡한 지수 이며 여기서 는 허수 단위를 나타냅니다). 또한 이전과 같이 0이 아닌 주파수 세트 (1,2,3,4) 대신 세트 (1,2,5)를 얻었습니다. 그 이유는 이 복소수 확장에서 라는 용어 ( 은 복소수)가 두 개의 실수 인 에 해당하기 때문입니다. 오일러 공식 인해 삼각법 기반 확장 입니다. 복소수 계수는 두 개의 실제 계수의 구 적합의 합계와 같습니다. 즉,$\exp{ni\omega x}$$i$$x_n\exp{ni\omega x}$$x_n$$a_n sin(n\omega x)+b_n cos(n\omega x)$$\exp{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$ 5=$|x_n|=\sqrt{a_n^2+b_n^2}$ . 실제로 입니다.$5=\sqrt{3^3+4^2}$