두 표준 정규 랜덤 변수는 항상 독립적입니까?

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평균과 분산이 각각 0과 1로 고정되어 있기 때문에 표준 정규 분포가 고유하다는 것을 알았습니다. 이 사실로, 두 표준 랜덤 변수가 독립적이어야하는지 궁금합니다.

normal-distribution independence

— C. 호크
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그들은 왜 ..? 독립성은 분배와 아무 관련이 없습니다.

— Tim

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와

고려하십시오 . 그들은 독립적이지 않습니다.

X

$X$

X

$X$

— djechlin

실제적인 관점에서 도움이 될 수 있습니다. stats.stackexchange.com/questions/15011/…

— JustGettinStarted 님이

주어진 좋은 예 외에도 일반적으로 N (0 ,!) 한계 분포를 갖는 이변 량 정규 분포를 고려하십시오. -1과 1 사이의 상관 관계가있을 수 있습니다. 아래 예는 모두 특별한 경우입니다. 제쳐두고 두 표준 정규 변수는 종속적이지만 이변 량 분포를 갖지 않을 수 있습니다.

— Michael R. Chernick

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배트맨은 내가 제안하는 것과 동일한 일반적인 결과를 얻습니다. Y = -X 경우는 상관 관계가 -1이므로 이변 량 법선의 축퇴 형태입니다. 이변 량 정상이 아닌 사례를 보여주는 여기 (이 게시물)의 예를 보지 못했습니다.

— Michael R. Chernick

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내 대답은 아니오 야. 예를 들어, 가 표준 랜덤 변수 인 경우 는 동일한 통계를 따르지만 $X$ $Y=-X$ $X$ 와 는 분명히 종속적입니다. $Y$

— 기력
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아니요, 두 표준 가우시안이 독립적이라고 믿을 이유가 없습니다.

다음은 간단한 수학적 구성입니다. 그 가정 와 $X$ $Y$ 가 두 개의 독립적 인 표준 정규 변수 하십시오. 그런 다음 쌍

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

두 명의 의존 표준 정규 변수입니다. 따라서 두 개의 독립적 인 정규 변수 인 한 두 개의 종속 변수가 있어야 합니다.

독립 정규 변수의 선형 조합이 다시 정상이기 때문에 두 번째 변수는 정규입니다. 그만큼 는 분산을로 만듭니다. $\sqrt{2}$ $1$ .

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

의 값을 알면 두 번째 변수의 값을 예측하는 데 사용할 수있는 추가 정보가 제공 되므로 직관적으로 의존 합니다. 예를 들어 $X$ $X = x$ 이면 두 번째 변수의 조건부 예상은 다음과 같습니다.

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— 매튜 드 루리
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다음은 상당히 넓은 답변입니다.

를 공동 가우스 랜덤 변수로 하자 (즉, 임의의 실수의 경우 가 가우스 분포를 가짐). 그러면, 인 경우에만 와 는 독립적입니다 (즉, 상관되지 않음). 자세한 내용은 이 참고 사항을 참조하십시오. $X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

독립적이지 않은 표준 정규 랜덤 변수를 어떻게 생성 할 수 있습니까? 가 양의 근을 갖도록 형식의 선호 행렬을 선택합니다 . 그런 다음 Cholesky 분해물을 적용하십시오 . 그런 다음 두 개의 독립적 인 표준 정규 확률 변수 를 사용한 다음 벡터 $\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ $\lambda$ $\Sigma= R R^T$ $U,V$ $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ $p=0$

— 배트맨
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비 이변 량 정상적인 예 (Michael Chernick가 의견에서 제안한 것처럼) :

허락하다 $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$ .

이것은 이변 량 정규 분포가 아니지만 간단한 적분은 두 한계가 모두 표준 정규임을 나타냅니다. 그들은 명백히 독립적이지 않기 때문에 $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ .

— Batman
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