극좌표 는 및 언제 ?

임의의 점 의 직교 좌표를 st 합니다.$x,y$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$

따라서, 반경 에 의해 묵시적으로 균일하게 분산되지 의 PDF .$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$$\rho$

그럼에도 불구하고 은 가장자리에 남은 4 개의 남은 가공물을 제외하고 거의 균일 할 것으로 예상 합니다.$\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$

다음은 및 의 그래프로 계산 된 확률 밀도 함수 입니다 . $\theta$$\rho$

이제 st 로 분배 하면 는 균일하게 분포 된 것처럼 보입니다.x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) x N ( 0 , 20 2 ) $x,y$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$$\theta$

왜 는 때 균일하지 때 균일 ?( x , y ) ~ U ( − 10 , 10 ) × U ( − 10 , 10 ) x , y ∼ N ( 0 , 20 2 ) × N ( 0 , 20 2$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

내가 사용한 Matlab 코드 :

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

세 번째 줄 을 바꾸면 : r = (b-a).*randn(2,number_of_points);with r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;는 의 분포 를 보통에서 균일 하게 바꿉니다 .$(x,y)$

독립 변량 쌍 에서 극좌표 표현 (반지름 및 각도) 으로의 변환을 말한 다음 의 한계 분포를 봅니다.( R , θ ) $(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

나는 다소 직관적 인 설명을 제공 할 것입니다 (밀도의 수학적 도출은 본질적으로 비공식적으로 설명하는 것과 같습니다).

두 개의 변수, X와 Y를 공통 스케일로 스케일링하는 경우 (예 : U (-1,1)에서 U (-10,10)로 또는 N (0,1)에서 N (0,20으로) 각도 분포에 아무런 영향을 미치지 않는 두 변수에 동시에 적용됩니다 (반지름 분포의 스케일에만 영향을 미칩니다). 따라서 단위 사례를 고려해 봅시다.

먼저 통일 사건에 무슨 일이 일어나고 있는지 고려하십시오. 분포는 단위 제곱에 걸쳐 균일하므로 내에 포함 된 영역의 확률 밀도는 영역 의 면적에 비례합니다. 구체적으로, 각도의 요소 ( 수평 근처 (근처 각도 ) 및 대각선 (근처 각도 ) 과 관련된 밀도를 살펴보십시오 . d θ θ = 0 θ = π /$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

각도가 대각선 중 하나에 가까울 때 각도 요소 ( )에 해당하는 확률 요소 (즉, 면적 )가 더 큽니다. 실제로 사각형 안에 원을 쓰는 것을 고려하십시오. 원 안에 주어진 작은 각도로 스팬 된 면적은 일정하며, 원에 가까워 질수록 원의 바깥 부분이 커져서 대각선에 도달 할 때 최대가됩니다. d $df_\theta$$d\theta$

이것은 시뮬레이션에서 보이는 패턴을 완전히 설명합니다.

실제로 밀도는 정사각형의 중심에서 가장자리까지의 세그먼트 길이에 비례해야 함을 알 수 있습니다. 간단한 삼각법으로 밀도를 도출하기에 충분하며 밀도를 1에 통합시키는 데 필요한 상수를 쉽게 찾을 수 있습니다.

[편집 : 원래 답변 이후 질문이 변경되었으므로 반경을 논의하기 위해 다음 비트를 추가했습니다.]

만약 우리가 단위 원에 균일 한 분포를 가졌다면 (즉, 우리가 이전에 정사각형에 새겨진 것), 그에 대한 반지름의 밀도는 반지름에 비례 할 것입니다 (너비 의 작은 고리 형 요소의 면적을 고려하십시오) . 반경 즉 과 사이의 면적은 비례하는 면적을 ). 그런 다음 우리가 원을 지나갈 때 반지름이 큰 새로운 고리 모양 영역은 사각형의 부분에서만 밀도 기여를 얻으므로 밀도는 과 사이에서 (처음에는 매우 빠르게, 더 느리게) 감소 합니다. (필요한 경우 밀도의 기능적 형태를 얻기 위해서는 상당히 간단한 기하학적 개념으로 충분합니다.)r r r + d r r 1 $dr$$r$$r$$r+dr$$r$$1$$\sqrt 2$

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대조적으로, 관절 분포가 원점에 대해 회전 대칭 인 경우, 어떤 각도에서의 확률 요소는 각도에 의존하지 않습니다 (이것은 본질적으로 팽팽함입니다!). 두 개의 독립적 인 표준 가우시안의 이변 량 분포는 원점에 대해 회전 대칭입니다.

(이 이미지의 코드는 Elan Cohen의 코드를 기반으로 하지만 여기 에는 좋은 대안이 있으며 여기 에는 두 가지가 있습니다 )

결과적으로 일부 각도 포함 된 부피 는 모든 마다 동일 하므로 각도와 관련된 밀도는 에서 균일합니다 .θ [ 0 , 2 π $d\theta$$\theta$$[0,2\pi)$

[실선에 법선 밀도를 적분하는 데 일반적으로 사용되는 극좌표는 제곱 반지름의 밀도가 음의 지수임을 알아 내기 위해 사용될 수 있으며, 거기에서 반지름의 밀도는 분포 함수]

균일 한 분포로 이어지는 일반적인 경우 에 대한 질문에 대답하겠습니다 . 와 가 독립적이고 정규 분포되어 있으면 일정한 확률 밀도의 윤곽은 평면 의 원 이라는 것이 잘 알려져 있습니다. 반경 는 레일리 분포를 갖습니다 . 이에 대한 좋은 토론을 위해 Rayleigh 배포라는 위키 백과 기사를 참조하십시오.$X$$Y$R = $x-y$$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

이제 극좌표를 사용하여 랜덤 변수 와 를 살펴 보겠습니다 .$X$$Y$

Y = r sin ( θ ) X 2 + Y 2 = r 2 θ ( 0 , 2 π ) r X Y $X = r\cos(\theta)$ , 입니다. 참고가 . 경우 에 균일 하고 레일리 분포를 갖는 및 각각 독립적 법선 것이다 평균 및 분산 공통. 대화도 마찬가지입니다. 대화의 증거는 OP가 질문의 두 번째 부분에 대한 답변으로 원한다고 생각하는 것입니다.$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

여기 증거의 스케치가 있습니다. 일반성을 잃지 않으면 서 는 로 분배 되고 는 분배 되고 서로 독립적 이라고 가정 할 수 있습니다 .N ( 0 , 1 ) Y N ( 0 , 1 $X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

그런 다음 관절 밀도 입니다. 극좌표 변환을 사용하여 를 얻습니다 . 이후 및 . 따라서 및 입니다. 변환의 야곱을 계산하고 로 적절히 대체 합니다. 결과적으로 는 및 대해 입니다 . 그 프로그램이 과 무관 세타g ( R , θ ) , X = (R)의 죄 ( θ ) , Y = R COS ( θ ) R = $f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$ θ=아크 탄(x/y)f(x,y)g(r,θ)rexp[(−r2)/(2π)]r≥00≤θ≤2πrr1/(2π$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$$r$레일리 분포 및 세타를 갖는 밀도는 일정한 밀도 .$1/(2 \pi)$

글렌와 마이클에 의해 주어진 상당히 좋은 답변을 완료하려면, 나는 단지의 밀도를 계산하는 것이다 분배 할 때 ( X , Y가 ) 균일 광장에 [ - 1 , 1 ] × [ - 1 , 1 ] . 이 균일 밀도는 $\theta$$(X,Y)$$[-1,1]\times[-1,1]$이 사각형의 4 ,다른 곳의0, 즉 사각형의 주어진 영역에서 점을 샘플링 할 확률은$1 \over 4$$0$ 이 지역의 면적.$1 \over 4$

우리 질문의 관심 영역은이 그림에서 빨간색 부분입니다.

$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$

대한 계산을하겠습니다.$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

초등 삼각법은 아래쪽의 길이가 임을 보여줍니다.$1\over \cos\theta$

$${1\over \cos(\theta + d\theta)} = {1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta.$$

$a$$b$$\alpha$${1\over 2}ab\sin\alpha$

$${1\over 2} \left({1\over \cos\theta} \right) \left({1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta\right) \sin d\theta = {d\theta \over 2\cos^2 \theta}$$ $d\theta$$\sin d \theta= d\theta$

$\theta$

$${1\over 8 \cos^2 \theta}$$ $\theta$$\left[-{\pi\over 4},{\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

확인:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )