매개 변수화 공분산 행렬이있는 양의 k 차원 사분면에 대한 분포는 무엇입니까?

부정적인 시뮬레이션에 대한 그의 문제에 대한 zzk 의 질문 에 이어 , 공분산 행렬 를 설정할 수있는 양의 k 차원 사분면 에서 매개 변수화 된 분포 패밀리가 무엇인지 궁금합니다 . $\mathbb{R}_+^k$ $\Sigma$

zzk 에서 설명한 것처럼 의 분포에서 시작 하여 선형 변환 적용하면 작동하지 않습니다. $\mathbb{R}_+^k$ $X \longrightarrow\Sigma^{1/2} (X-\mu) + \mu$

distributions multivariate-analysis covariance

— 시안
소스

답변:

우리는 다변량 정규 확률 벡터를 가지고 있다고 가정하자 함께 및 전체 순위 대칭 양수 한정 행렬 .

(\log X_{1}, \dots, \log X_{k}) \sim N (μ, Σ),

$(\log X_1,\dots,\log X_k) \sim N(\mu,\Sigma) \, ,$

μ \in R^{k}

$\mu\in\mathbb{R}^k$

k \times k

$k\times k$

Σ = (σ_{i j})

$\Sigma=(\sigma_{ij})$

로그 정규 경우 $(X_1,\dots,X_k)$

m_{i} := E [X_{i}] = e^{μ_{i} + σ_{i i} / 2}, i = 1, \dots, k,

$m_i := \textrm{E}[X_i] = e^{\mu_i + \sigma_{ii}/2} \, , \quad i=1,\dots,k\, ,$

c_{i j} := Cov [X_{i}, X_{j}] = m_{i} m_{j} (e^{σ_{i j}} - 1), i, j = 1, \dots, k,

$c_{ij} := \textrm{Cov}[X_i,X_j] = m_i \,m_j \,(e^{\sigma_{ij}} - 1) \, , \quad i,j=1,\dots,k\, ,$

그리고 . $c_{ij}>-m_im_j$

따라서, 우리는 반대 질문 수 주어진 및 대칭적인 양의 정부 호 매트릭스 , 만족 , 만약 우리는 규정 된 평균과 공분산을 가진 로그 정규 벡터를 갖게 될 것입니다. $m=(m_1,\dots,m_k)\in\mathbb{R}^k_+$ $k\times k$ $C=(c_{ij})$ $c_{ij}>-m_im_j$

μ_{i} = \log m_{i} - \frac{1}{2} \log (\frac{c_{i i}}{m_{i}^{2}} + 1), i = 1, \dots, k,

$\mu_i = \log m_i - \frac{1}{2} \log\left(\frac{c_{ii}}{m_i^2} + 1 \right) \, , \quad i=1,\dots,k \, ,$

σ_{i j} = \log (\frac{c_{i j}}{m_{i} m_{j}} + 1), i, j = 1, \dots, k,

$\sigma_{ij} = \log\left(\frac{c_{ij}}{m_i m_j} + 1 \right) \, , \quad i,j=1,\dots,k \, ,$

및 에 대한 제한 은 자연 조건 . $C$ $m$ $\textrm{E}[X_i X_j]>0$

— 선
소스

대단해, 파울로! 공분산 행렬에 대해 작업 솔루션과 적절한 조건을 모두 얻었으며이 질문에 대한 답변도 제공 됩니다. 대수-노멀은 결국 감마보다 더 편리합니다.

— 시안

실제로, 나는 보행자 솔루션을 가지고 있습니다.

시작 및 값에 맞추기 위해 두 파라미터를 선택 , . $X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{11},\beta_{1})$ $\mathbb{E}[X_1]$ $\text{var}(X_1)$
가지고 과의 값에 맞도록 세 개의 매개 변수를 선택 , 및 입니다. $X_2|X_1\sim \text{Ga}(\alpha_{21}X_1+\alpha_{22},\beta_{2})$ $\mathbb{E}[X_2]$ $\text{var}(X_2)$ $\text{cov}(X_1,X_2)$
가지고 과의 값에 맞도록 네 개의 매개 변수를 선택 , , 및 . $X_3|X_1,X_2\sim \text{Ga}(\alpha_{31}X_1+\alpha_{32}X_2+\alpha_{33},\beta_{3})$ $\mathbb{E}[X_3]$ $\text{var}(X_3)$ $\text{cov}(X_1,X_3)$ $\text{cov}(X_2,X_3)$

그러나 ... 모수 방정식의 모수 및 비선형 특성에 대한 제약 조건이 주어지면 모멘트의 일부 집합이 허용 가능한 매개 변수 세트에 해당하지 않을 수 있습니다.

예를 들어 일 때 방정식 시스템 $k=2$

β_{1} = μ_{1} / σ_{1}^{2}, α_{11} - μ_{1} β_{1} = 0

$\beta_1 =\mu_1/\sigma_1^2\,,\quad \alpha_{11}-\mu_1\beta_1 =0$

α_{22} = μ_{2} β_{2} - α_{21} μ_{1}, α_{21} = \frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})}{σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1}} β_{2}

$\alpha_{22} = \mu_2\beta_2 - \alpha_{21}\mu_1\,,\quad \alpha_{21} = \dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)}{\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1}\beta_2$

\frac{(σ_{12} + μ_{1} μ_{2} - μ_{2})^{2}}{(σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - μ_{1})^{2}} σ_{1}^{2} + \frac{μ_{2}}{β_{2}} = σ_{2}^{2} .

$\dfrac{(\sigma_{12}+\mu_1\mu_2-\mu_2)^2}{(\sigma^2_1+\mu_1^2- \mu_1)^2} \sigma_1^2 + \dfrac{\mu_2}{\beta_2} = \sigma^2_2\,.$ 및 대해 임의의 (그리고 선험적으로 허용되는) 값으로 R 코드를 실행하면 솔루션이없는 많은 경우가 발생했습니다. 다시 말하지만, 에 대한 분포에 대한 상관 행렬 이 단순한 양의 결정 요인에 대한 더 강한 제한을 가질 수 있기 때문에 그다지 의미가 없습니다 .

μ

$\mu$

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{2}

$\mathbb{R}_+^2$

업데이트 ( 04/04 ) : deinst는이 질문을 수학 포럼 의 새로운 질문 으로 바 꾸었습니다 .

— 시안
소스

이것을 부드럽게 확장하는 한 가지 방법은 자연 지수 군 그런 다음 평균과 공분산은 의 기울기와 헤 시안입니다 . 경우 (실수 지수로> -1) 다항식이고 다음 (진짜 지수)와 다항식의 기록이며, 분산 및 헤센가 유리 함수이다. 이것이 평균과 공분산 행렬을 표현할 수있는 충분한 자유를 준다고 생각합니다.

f (X | θ) = h (x) e^{θ^{T} X - A (θ)} .

$f(\mathbf{X}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{\mathbf\theta^T\mathbf{X}-A(\mathbf\theta)}.$

A

$A$

h

$h$

A

$A$

— deinst

@deinst : (+1)이 지수 패밀리 표현을 간단하게 활용할 수있는 예가 있습니까?

— Xi'an

어쩌면 나는 문제를 잘 이해하지 못할 수도 있습니다. 그러나 을 완벽하게 지원 하고 평균 갖는 동일한 한계 를 갖는 이변 량 랜덤 벡터 를 고려하십시오 . 어떻게 이런 이변 량 분포의 상관 관계를 가질 수있다 예를 들어, 가까운 -1? 경험적으로, 나는 이것을 수행하지 않았지만 이면 지원에 대한 모순이 발생 하는 것으로 보입니다 . 아니?

(X, Y)

$(X,Y)$

F

$F$

R_{+}

$\mathbb R_{+}$

0 < μ < \infty

$0 < \mu < \infty$

ρ

$\rho$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

— 추기경

지지가 일 때 공분산 행렬 에는 Stieltjes moment 조건을 통해 제한 이 있습니다 . 어쨌든, 왜 -1에 가까운 상관 관계 가 선험적으로 제외되는지 알 수 없습니다 .

Σ

$\Sigma$

R_{+}^{k}

$\mathbb{R}^k_+$

— 시안

맞아요, 이것은 내가 받고있는 것과 관련이 있습니다. 상관 관계와 관련하여 내 예를 고려하십시오. 경우 및 동일 한계가 평균과 정확하게의 상관 -1 의 값은 무엇을해야 모든 이러한 실현이 될 ?를 (질문과 대답 모두에 +1입니다. 나는 이것을 좋아합니다.)

X

$X$

Y

$Y$

F

$F$

μ

$\mu$

P (X > 2 μ) > 0

$\mathbb P(X > 2 \mu) > 0$

Y

$Y$

X

$X$

— 추기경

시안의 의견에 대한 답변입니다. 너무 길고 편안한 의견이 되려면 TeX가 많이 있어야합니다. Caveat Lector : 대수학 실수를 한 것이 확실합니다. 이것은 내가 처음 생각했던 것만 큼 유연하지 않은 것 같습니다.

에서 형식 의 분포를 만들어 봅시다. 하자 과 . 하자 은 가 모든 대해 0보다 큰 실수 인 2 항 다항식 입니다. 그런 다음 $\mathbb{R}_+^3$

f (x | θ) = h (x) e^{- θ^{T} x - A (θ)}

$f(\mathbf{x}|\mathbf\theta)=h(\mathbf{x})e^{-\mathbf\theta^T\mathbf{x}-A(\mathbf\theta)}$

x = (x, y, z)

$\mathbf{x}=(x,y,z)$

θ = (θ_{1}, θ_{2}, θ_{3})

$\mathbf\theta=(\theta_1,\theta_2,\theta_3)$

h (x) = c x_{1}^{e_{1} - 1} x_{2}^{e_{2} - 1} x_{3}^{e_{3} - 1} + d x_{1}^{f_{1} - 1} x_{2}^{f_{2} - 1} x_{3}^{f_{3} - 1}

$h(\mathbf{x})=c x_1^{e_1-1}x_2^{e_2-1}x_3^{e_3-1}+d x_1^{f_1-1}x_2^{f_2-1}x_3^{f_3-1}$

e_{i}, f_{i}

$e_i, f_i$

i

$i$

A (θ) = \log (c \frac{Γ (e_{1})}{θ_{1}^{e_{1}}} \frac{Γ (e_{2})}{θ_{2}^{e_{2}}} \frac{Γ (e_{3})}{θ_{3}^{e_{3}}} + d \frac{Γ (f_{1})}{θ_{1}^{f_{1}}} \frac{Γ (f_{2})}{θ_{2}^{f_{2}}} \frac{Γ (f_{3})}{θ_{3}^{f_{3}}}) .

$A(\mathbf\theta)=\log\left(c\frac{\Gamma(e_1)}{\theta_1^{e_1}}\frac{\Gamma(e_2)}{\theta_2^{e_2}}\frac{\Gamma(e_3)}{\theta_3^{e_3}}+d\frac{\Gamma(f_1)}{\theta_1^{f_1}}\frac{\Gamma(f_2)}{\theta_2^{f_2}}\frac{\Gamma(f_3)}{\theta_3^{f_3}}\right).$

이제 편의상 and

c^{'} = c Γ (e_{1}) Γ (e_{2}) Γ (e_{2}) θ_{1}^{f_{1}} θ_{2}^{f_{2}} θ_{3}^{f_{3}}

$c'=c\Gamma(e_1)\Gamma(e_2)\Gamma(e_2)\theta_1^{f_1}\theta_2^{f_2}\theta_3^{f_3}$

d^{'} = d Γ (f_{1}) Γ (f_{2}) Γ (f_{2}) θ_{1}^{e_{1}} θ_{2}^{e_{2}} θ_{3}^{e_{3}}

$d'=d\Gamma(f_1)\Gamma(f_2)\Gamma(f_2)\theta_1^{e_1}\theta_2^{e_2}\theta_3^{e_3}$

이제 우리의 분포의 평균으로의 기울기이고 , 우리가 , 와 . 공분산은의 헤센 같이 그리고 , 우리가 및 (아래 첨자를 명백한 방식으로 변경하여 얻은 공분산 행렬의 다른 용어). $A$ $\mu_X=\frac{e_1c'+f_1d'}{\theta_1(c'+d')}$ $\mu_Y=\frac{e_2c'+f_2d'}{\theta_2(c'+d')}$ $\mu_Z=\frac{e_3c'+f_3d'}{\theta_3(c'+d')}$ $A$

σ_{X}^{2} = \frac{(e_{1} c^{'} + f_{1} d^{'}) (c^{'} + d^{'}) + (e_{1} - f_{1})^{2} c^{'} d^{'}}{θ_{1}^{2} (c^{'} + d^{'})^{2}}

$\sigma_X^2=\frac{(e_1c'+f_1d')(c'+d')+(e_1-f_1)^2c'd'}{\theta_1^2(c'+d')^2}$

Cov (X, Y) = \frac{(e_{1} - f_{1}) (e_{2} - f_{2}) c^{'} d^{'}}{θ_{1} θ_{2} (c^{'} + d^{'})}

$\text{Cov}(X,Y)=\frac{(e_1-f_1)(e_2-f_2)c'd'}{\theta_1\theta_2(c'+d')}$

이것은 공분산 행렬을 얻기에 충분한 유연성이 아닌 것 같습니다. 나는 다항식에서 다른 용어를 시도해야합니다 (그러나 나는 또한 작동하지 않을 것이라고 생각합니다 (분명히 더 생각할 필요가 있습니다)).

— Deinst
소스

5 개의 제약 조건에 대한 4 개의 매개 변수 ...?

(θ_{1}, θ_{2}, θ_{3}, c)

$(\theta_1,\theta_2,\theta_3,c)$

— 시안

@xian 6 개의 지수 와 도 있습니다.

e_{i}

$e_i$

f_{i}

$f_i$

— deinst

나는 약간 (?) 혼란 스럽다. 지수를 지수 패밀리의 매개 변수로 처리하지 않았습니다. 그러나 실제로 9 모멘트 방정식을 올바르게 얻기 위해 원하는대로 그 힘을 바꿀 수 있습니다.

— 시안

@ Xi'an 당신은 정확합니다, 나는 그것들을 지수 패밀리의 매개 변수로 처리하지 않았습니다. 그렇게함으로써 가족은 더 이상 자연적인 가족이되지 못했을 것입니다. 그리고 그것들을 포함하면 모멘트 방정식을 계산하기위한 대수학을 방해했을 것입니다.

— deinst