베타 회귀 분석이 반응 변수에서 0과 1을 정확히 처리 할 수없는 이유는 무엇입니까?

베타 회귀 (즉, 베타 분포 및 일반적으로 로짓 링크 함수가있는 GLM)는 분수, 비율 또는 확률과 같이 0과 1 사이의 값을 취하는 반응 일명 종속 변수를 처리하는 데 권장됩니다 . 결과에 대한 회귀 (비율 또는 분수) 0과 1 사이 입니다.

그러나 베타 회귀 분석은 응답 변수가 적어도 한 번은 0 또는 1이 되 자마자 사용할 수 없다고 주장합니다. 만약 그렇다면, 0 / 1- 팽창 베타 모델을 사용하거나 응답 등을 일부 변환해야합니다 : 1과 0을 포함한 비례 데이터의 베타 회귀 .

내 질문은 : 베타 배포의 어떤 속성이 베타 회귀가 정확한 0과 1을 처리하지 못하게하고 그 이유는 무엇입니까?

나는 것으로 추측하고 $0$ 과 $1$ 베타 분포의 지원하지 않습니다. 그러나 모든 모양 매개 변수 $\alpha>1$ 및 $\beta>1$ , 0과 1 은 모두 베타 분포를 지원합니다. 분포가 한쪽 또는 양쪽에서 무한대로 진행되는 작은 모양 매개 변수에 대해서만 가능합니다. 그리고 아마도 표본 데이터는 최적의 적합을 제공 하는 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 모두 보다 높을 것 $1$ 입니다.

이 경우에 그 뜻 한 수 도 제로 / 사람과 실제로 사용 베타 회귀?

물론 0과 1이 베타 분포를 지원하더라도 정확히 0이나 1을 관찰 할 확률은 0입니다. 그러나 다른 주어진 계산 가능한 값 집합을 관찰 할 가능성이 있으므로 문제가 될 수 있습니까? ( @Glen_b 의이 의견 참조 ).

$\hskip{8em}$

베타 회귀와 관련하여 베타 분포는 다르게 매개 변수화되지만 $\phi=\alpha+\beta>2$ 경우 모든 대해 에서 여전히 잘 정의되어야합니다 . $[0,1]$ $\mu$

— 아메바의 말에 따르면 복원 모니카
소스

재미있는 질문! Kevin Wright가 이미 작성한 사항 외에는 아무런 대답이 없습니다. 정확한 0과 확률은 병리학 적 사례 (물류 회귀 분석과 같은)이므로 그렇게해서는 안되기 때문에 그다지 흥미롭지 않습니다.

— Tim

그들이해야하거나 발생하지 않아야하는 경우 @ 팀 글쎄, 나도 몰라,하지만 그들은 않는 것, 다른 사람들이 베타 회귀에 0과 1을 처리하는 방법에 대한 질문을하지 않을, 0 ~ 약되지 쓰기 논문을 꽤 자주 발생 그리고 1 팽창 된 베타 모델 등. 어쨌든, 나는 여전히 Kevin보다 더 자세한 답변을 기대하고 있습니다. 적어도 로그 우도에서 이러한 용어가 어떻게 발생하는지 설명해야합니다.

— 아메바는 고

업데이트 : 아마도 0과 1이 지원에 있다면이 시점의 PDF가 0과 같기 때문에이 값을 관찰 할 가능성은 0입니다. 나는 아직도 이것을 조심스럽게 설명하는 대답을보고 싶습니다.

— amoeba는

따라서 응답 변수가

값을 가정 할 때 어떤 분포를 사용해야 합니까?

[0, \infty)

$[0, \infty)$

— 혼란

답변:

loglikelihood는 와 모두 포함하므로 또는 때 제한이 없습니다 . Smithson & Verkuilen의 " 4. 더 나은 레몬 압착기? 베타-분산 종속 변수를 사용한 최대 가능성 회귀 "( PDF로 직접 링크 )의 방정식 (4)를 참조하십시오 . $\log(x)$ $\log(1-x)$ $x=0$ $x=1$

— 케빈 라이트
소스

감사. 이 문서에 대한 직접 PDF 링크 는 다음과 같습니다 . 나는 그 방정식을 볼 수 있습니다. (4)

또는

이되면 고장이 나지만, 이것이 왜 일반적인 일에서 일어나는지 이해하지 못합니다.

y_{i} = 0

$y_i=0$

y_{i} = 1

$y_i=1$

— amoeba는 Reinstate Monica가

(+1) 아메바, 그냥 PDF보고 : 대한 모든 베타 분포의 밀도를

과

중 하나입니다

또는

. 두 경우 모두 로그 가능성은 정의되지 않습니다. 등가 자마자 하나가으로

또는

응답하여, 모든 가능성의 값은 제로 무한대 또는 부정 할 수 와 우도의 최소값이 실현되는 베타 파라미터 사소 세트가있을 것이다. 따라서 실제 계산이 불가능하고 모델을 식별 할 수 없습니다 (심한 의미에서).

0

$0$

1

$1$

0

$0$

+ \infty

$+\infty$

0

$0$

1

$1$

— whuber

@whuber의 의견 (지금까지는 알지 못했음)과 함께 이것은 질문에 대한 답변입니다. 요점은 내가 묻는 매개 변수 값의 경우

과

가능성이 0이라는 것입니다.

0

$0$

1

$1$

— amoeba는

@ whuber 내가 혼란스러워 한 이유는 0을 관찰 할 확률이

이지만

를 관찰 할 확률이 0이기 때문입니다 ( 구체적으로 는

로 베타를 취하십시오 ). 그럼에도 불구하고,

모델과 일치하지만,

아니며, 그것 때문에 가능성 관찰

0이 아니라 관찰의 가능성

...입니다

0

$0$

0.5

$0.5$

α = β = 2

$\alpha=\beta=2$

0.5

$0.5$

0

$0$

0.5

$0.5$

0

$0$

— 아메바는 분석 재개 모니카 말한다

@amoeba 가능성은 확률 자체가 아니라 확률 밀도 에 따라 다릅니다 . 때때로, 각 관측 값이 작지만 유한 한 (무한대가 아닌) 구간 ( 예를 들어 , 측정의 정밀도에 의해 결정됨)의 확률을 포함하도록 고려 하거나 매우 좁은 가우시안 (예 : 제로 및 무한 밀도를 제거합니다).

— whuber

그 이유가 실제로 및 의 존재에서 온다는 사실 외에 $log(x)$ $log(1-x)$ , 나는 이것이 일어나는 이유의 근본 원인을 프레임 화하여 질문에 대한 답변을 보완하려고 노력할 것입니다.

실제로 베타 분포는 "확률 값의 분포를 설명하는 데 사용되는 경우가 많습니다"( wikipedia )입니다. 랜덤 변수 의 독립 이진 드로우의 관찰을 아는 것은 이항 분포 의 가능한 경향 의 분포 입니다. $p$ $N$

결과적으로 베타 회귀에 대한 이해에서 0과 1은 직관적으로 (무한) 확실한 결과에 해당합니다.

— 메 두즈
소스