비율에 대한 신뢰 구간을 계산하는 방법은 무엇입니까?

0과 1 사이 의 비율 를 출력하는 실험을 고려하십시오. 이 비율을 얻는 방법은이 맥락에서 관련이 없어야합니다. 이 질문의 이전 버전 에서 자세히 설명 되었지만 메타에 대한 토론 후에 명확성을 위해 제거되었습니다 .$X_i$

이 실험은 번 반복되는 반면 은 작습니다 (약 3-10). 독립적이고 동일하게 분산 된 것으로 간주됩니다. 이로부터 평균 를 계산하여 평균을 추정 하지만 해당 신뢰 구간 을 계산하는 방법은 무엇입니까?n X i ¯ X [ U , V $n$$n$$X_i$$\overline X$$[U,V]$

신뢰 구간을 계산하기 위해 표준 접근법을 사용할 때 는 때때로 1보다 큽니다. 그러나 내 직감은 올바른 신뢰 구간입니다.$V$

1. ... 범위는 0과 1이어야합니다
2. ... 을 증가 시키면 작아 질 것$n$
3. ... 표준 접근법을 사용하여 계산 된 순서와 거의 같습니다.
4. ... 수학적으로 건전한 방법으로 계산됩니다.

이것들은 절대적인 요구 사항은 아니지만 적어도 내 직감이 왜 틀린지 이해하고 싶습니다.

기존 답변을 기반으로 계산

다음에서 기존 해답으로 인한 신뢰 구간은 \ {X_i \} = \ {0.985,0.986,0.935,0.890,0.999 \} 와 비교됩니다 $\{X_i\} = \{0.985,0.986,0.935,0.890,0.999\}$.

표준 접근법 (일명 "학교 수학")

$\overline X = 0.959$ , $\sigma^2 = 0.0204$ 이므로 99 % 신뢰 구간은 $[0.865,1.053]$ 입니다. 이것은 직관 1과 모순된다.

자르기 (댓글에서 @soakley가 제안 함)

표준 접근법을 사용하고 그 결과로 [0.865,1.000] 을 제공하기 만하면$[0.865,1.000]$ 됩니다. 그러나 우리는 그렇게 할 수 있습니까? 나는 아직 하한이 일정하게 유지된다고 확신하지 못한다 (-> 4).

로지스틱 회귀 모형 (@Rose Hartman이 제안)

변환 된 데이터 : 결과 , 그 변환 결과는 다시 . 분명히 6.90은 변환 된 데이터에 대한 특이 치이며 0.99는 변환되지 않은 데이터에 대한 것이 아니므로 신뢰 구간이 매우 큽니다. (-> 3.)[ 0.173 , 7.87 ] [ 0.543 , 0.999 $\{4.18,4.25,2.09,2.66,6.90\}$$[0.173,7.87]$$[0.543,0.999]$

이항 비례 신뢰 구간 (@Tim에서 제안 함)

이 접근법은 꽤 좋아 보이지만 불행히도 실험에 적합하지 않습니다. @ZahavaKor가 제안한대로 결과를 결합하고 하나의 큰 반복 Bernoulli 실험으로 해석하면 다음과 같습니다.

5 * 1000 [ 0.9511 , 0.9657 ] X $985+986+890+935+999 = 4795$ 중 합계이다. 이것을 Adj에 먹이십시오. Wald 계산기는 제공합니다 . 하나의 가 해당 간격 내에 있지 않기 때문에 현실적으로 보이지 않습니다 ! (-> 3.)$5*1000$$[0.9511,0.9657]$$X_i$

부트 스트랩 (@soakley에서 제안)

함께 우리는 3125 가능한 순열이있다. 순열 의 중간 수단을 하면 됩니다. 더 큰 간격 (-> 3)을 기대하지만 그렇게 나쁘지 않습니다 . 그러나 구성 당 보다 크지 않습니다 . 따라서 작은 샘플의 경우 (-> 2) 을 늘리기 위해 축소하는 것보다 오히려 커집니다 . 이것은 적어도 위에서 주어진 샘플에서 일어나는 일입니다.$n=5$[0.91,0.99][min(Xi),max(Xi)]$\frac{3093}{3125} = 0.99$$[0.91,0.99]$$[min(X_i),max(X_i)]$$n$

우선, 당신이 다루고있는 것은 귀하의 질문에서 알 수 있듯이 이항 분포가 아닙니다 (Beroulli 실험이라고 함). 이항 분포는 불 연속적입니다. 결과는 성공 또는 실패입니다. 결과는 실험을 실행할 때마다 비율 이며, 성공 및 실패 집합이 아니라 하나의 요약 비율을 계산합니다. 따라서 이항 비례 신뢰 구간을 계산하는 방법은 많은 정보를 버리게됩니다. 그러나 변수의 가능한 범위를 넘어 확장되는 CI를 얻을 수 있기 때문에 이것을 정규 분포로 취급하는 것이 문제가된다는 것이 맞습니다.

로지스틱 회귀 분석의 관점에서 이것에 대해 생각하는 것이 좋습니다. 비율 변수를 결과로 예측 변수없이 로지스틱 회귀 모델을 실행하십시오. 절편과 CI는 로그에 필요한 것을 제공 한 다음 비율로 다시 변환 할 수 있습니다. 로지스틱 변환을 직접 수행하고 CI를 계산 한 다음 원래 스케일로 다시 변환 할 수도 있습니다. 내 파이썬은 끔찍하지만 R에서 어떻게 할 수 있습니까?

set.seed(24601)
data <- rbeta(100, 10, 3)
hist(data)

data_logits <- log(data/(1-data)) 
hist(data_logits)

# calculate CI for the transformed data
mean_logits <- mean(data_logits)
sd <- sd(data_logits)
n <- length(data_logits)
crit_t99 <- qt(.995, df = n-1) # for a CI99
ci_lo_logits <- mean_logits - crit_t * sd/sqrt(n)
ci_hi_logits <- mean_logits + crit_t * sd/sqrt(n)

# convert back to ratio
mean <- exp(mean_logits)/(1 + exp(mean_logits))
ci_lo <- exp(ci_lo_logits)/(1 + exp(ci_lo_logits))
ci_hi <- exp(ci_hi_logits)/(1 + exp(ci_hi_logits))

이러한 데이터에 대한 99 % CI의 하한과 상한은 다음과 같습니다.

> ci_lo
[1] 0.7738327
> ci_hi
[1] 0.8207924

리샘플링 / 부트 스트랩을 시도 할 수 있습니다. 언급 한 간단한 사례를 살펴 보겠습니다.

0.99, 0.94 및 0.94의 3 개 데이터 포인트를 사용하면 27 개의 가능한 순열을 모두 나열하고 각 경우의 평균을 찾은 다음 평균을 정렬 할 수 있으므로 리샘플링을 수행하지도 않습니다.

리스트를 생성하고 중간 25 개의 관측치를 취하면 92.6 % 신뢰 구간이 [0.9400, 0.9733]입니다. 신뢰도를 96.3 % 로 높이려면 두 가지 일방적 인 간격 선택이 있습니다. [0.9400, 0.9733] 또는 [0.94, 0.99]입니다.26 / 27 $25/27=$$26/27=$

귀하의 이 3보다 훨씬 클 것으로 가정 하므로 교체로 다시 샘플링 할 것입니다. 이걸 1000 번한다고 해 그런 다음 각 경우에 평균을 찾으십시오. 1000 평균 집합에서 중간 950 값을 가져옵니다. 이 부분 집합의 최저값과 최고 값은 95 % 신뢰 구간을 형성합니다.$n$

여기서 질문 : 순열 테스트의 매개 변수에 대한 신뢰 구간을 어떻게 생성합니까? 일부 R 코드를 포함하여 더 자세한 정보를 제공합니다.

이항 신뢰 구간은 오랫동안 통계 토론의 주제였습니다. 귀하의 문제는 100 % 미만의 비율로 간주되지만 100 %를 사용하면 더욱 문제가됩니다. 질문하는 통찰력있는 방법 중 하나는 다음과 같습니다.

지난 2,000 년 동안 매일 태양이 끊임없이 떠올랐다는 점을 감안할 때 내일 해가 올 확률은 얼마입니까?

성공률이 높을수록 가능성은 높다고 생각하지만 100 % 확신 할 수는 없습니다 (우주가 먼저 폭발 할 수도 있습니다). 따라서 100 % 비율을 가지더라도 에서 신뢰 구간이 축소되지 않습니다 .$p=1$

이 꼬리를 계산하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 나는 체크 아웃 권하고 싶습니다 위키 백과 수학을 위해, 아니면 그냥 대답을 원하는 경우, 같은 이항 간격 계산기 검색 이 하나 (또한 뒤에 수학을 좀 더 설명을해야하는 일).

베이지안 접근 방식 :

$B$$B$