고조파 평균은 제곱 상대 오차의 합을 최소화합니다

고조파 평균이 입증 된 참조를 찾고 있습니다.

{\bar{x}}^{h} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}

$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$

제곱 상대 오차의 합을 최소화 ( ) $z$

\sum_{i = 1}^{n} (\frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}) .

$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$

— 마틴 반 데르 린덴
소스

답변:

왜 참조가 필요합니까? 이것은 간단한 미적분 문제입니다. 이해하기 위해 공식화 한 문제의 경우 모든 이라고 가정해야합니다 . 그런 다음 함수 다음 대한 미분을 계산합니다 . 다음 방정식 을 풀면 해가됩니다. 물론, 이차 미분 값을 계산하기 위해 이것이 실제로 최소값인지 확인해야합니다. 마지막으로 사용한 불평등의 경우 마지막으로 모든 $x_i > 0$

f (z) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(x_{i} - z)^{2}}{x_{i}}

$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$

z

$z$

f^{'} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (1 - \frac{z}{x_{i}})

$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$

f^{'} (z) = 0

$f'(z)=0$

f^{″} (z) = - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} (0 - \frac{1}{x_{i}}) = 2 \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} > 0

$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$

x_{i} > 0

$x_i>0$ . 그러한 가정이 없다면 우리는 실제로 최대를 찾았다는 위험을 감수 할 수 있습니다!

참고로, https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean 또는 https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean 또는 그 안의 참조.

— 크 제틸 비 할보 르센
소스

답변 주셔서 감사합니다. 참조하면 공간이 절약됩니다. 나는 Lemma의 자체 포함 된 증거를 포함하지 않고 다른 증거에 Lemma로서 결과를 인용하고 싶습니다.

— Martin Van der Linden

명시 적 참조를 찾기가 어렵습니다. 기본으로 간주하여 가치가 있습니다! 증거가 기본적인 미적분 운동이라고 말할 수 있습니까?

— kjetil b halvorsen

기본적으로 항상 참조를 제공하는 것을 선호합니다. 그러나 기본 결과는 참고 문헌을 찾기가 어렵고 독자에게 증거를 남기는 것이 분명히 옵션이라는 것을 알고 있습니다.

— Martin Van der Linden

일시적인 외부 주제 핑 : spearman-> spearman-rho 동의어에 대한 투표는 여기에서 stats.stackexchange.com/tags/spearman-rho/synonyms 에서 고려 하십시오 . 감사합니다

— amoeba는

이것이 가중치 가중치 최소 제곱 회귀 임을 지적 할 수 있습니다. $1/x_i$

참조와 연결하려면 를 최소화하는 를 찾는 표준 표기법으로 되 돌리십시오 $\beta$

\sum ω_{i} (y_{i} - β)^{2} .

$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$

이것은 단일 상수 회귀 이고 가중치 행렬

X = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix})

$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$

W = (\begin{matrix} ω_{1} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & ω_{2} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ 0 & \dots & 0 & ω_{n} \end{matrix}) .

$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$

" "의 이름 을 " "( "응답") 로 바꾸 었으며 추정 할 매개 변수 는 대신 입니다 . 가중치는 입니다. 모두 초과해야합니다 . 해결책은 $x_i$ $y_i$ $\beta$ $z$ $\omega_i=1/x_i$ $0$

\hat{β} = (X^{'} W X)^{- 1} X^{'} W y = \frac{\sum_{i} x_{i} ω_{i}}{\sum_{i} ω_{i}} = \frac{\sum_{i} x_{i} / x_{i}}{\sum_{i} 1 / x_{i}} = \frac{n}{\sum 1 / x_{i}},

$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$

QED .

코멘트

동일한 분석이 모든 양의 가중치 세트에 적용되어 고조파 평균의 일반화와이를 특성화하는 유용한 방법을 제공합니다.
제어 된 실험에서와 같이, 가 고정 된 (무작위가 아닌) 것으로 볼 때, 가중 최소 제곱의 메커니즘은 신뢰 구간 및 예측 구간 등을 제공 합니다. 즉,이 설정으로 문제를 캐스팅하면 자동으로 고조파 평균의 정밀도를 평가할 수 있습니다. $x_i$
가중 문제에 대한 해결책으로서 고조파 평균을 보는 것은 그 성질, 특히 데이터에 대한 감도에 대한 통찰력을 제공합니다. 가장 중요한 기여자는 의 가장 작은 값을 가진 사람들이며 가중치 행렬 의해 그 중요성이 정량화되었음을 분명히 알 수 . $x_i$ $W$

참고

Douglas C. Montgomery, Elizabeth A. Peck 및 G. Geoffrey Vining, 선형 회귀 분석 소개. 다섯 번째 판. J. Wiley, 2012. 섹션 5.5.2.

— 우버
소스