임의의 이산 분포를 기반으로 숫자를 생성하는 방법은 무엇입니까?

임의의 이산 분포를 기반으로 숫자를 생성하려면 어떻게합니까?

예를 들어, 생성하려는 숫자 세트가 있습니다. 다음과 같이 1-3에서 레이블이 지정되어 있다고 가정하십시오.

1 : 4 %, 2 : 50 %, 3 : 46 %

기본적으로 백분율은 난수 생성기의 출력에 나타날 확률입니다. 간격 [0, 1]에서 균일 분포를 생성하는 의사 난수 생성기가 있습니다. 이 작업을 수행하는 방법이 있습니까?

내가 가질 수있는 요소 수에는 제한이 없지만 %는 최대 100 %가됩니다.

불연속 분포에서 샘플링하기위한 최상의 알고리즘 중 하나는 별칭 방법 입니다.

앨리어스 방법은 (효율적으로) 2 차원 데이터 구조를 사전 계산하여 확률에 비례하는 영역으로 사각형을 분할합니다.

참조 된 사이트 의이 회로도에서 단위 높이의 사각형은 색상으로 구분하여 , , 및 비율로 4 가지 영역으로 분할되었습니다 . 이러한 확률을 가진 불연속 분포에서 반복적으로 샘플링합니다. 수직 스트립의 폭은 일정합니다. 각각 하나 또는 두 조각으로 나뉩니다. 피스의 ID와 수직 분할의 위치는 열 인덱스를 통해 액세스 가능한 테이블에 저장됩니다.1 / 3 1 / 12 1 /$1/2$$1/3$$1/12$$1/12$

테이블은 두 개의 독립적 인 균일 값과 계산을 요구하는 두 개의 간단한 단계 (각 좌표에 대해 하나씩)로 샘플링 할 수 있습니다 . 이것은 다른 회신에 설명 된 것처럼 이산 CDF를 반전시키는 데 필요한 계산을 향상시킵니다 .O ( 로그 ( n ) $O(1)$$O(\log(n))$

R에서 쉽게 수행 할 수 있습니다. 필요한 크기를 지정하십시오.

sample(x=c(1,2,3), size=1000, replace=TRUE, prob=c(.04,.50,.46))

귀하의 예에서, 의사 난수 균일 [0,1] 값을 그리고 U라고 부르십시오.

U <0.04 인 경우 1

U> = 0.04이고 U <0.54 인 경우 2

U> = 0.54 인 경우 3

지정된 %가 a, b, ... 인 경우 간단히 출력

U이면 값 1

U> = a이고 U <(a + b) 인 경우 값 2

기타

본질적으로, 우리는 %를 [0,1]의 부분 집합으로 매핑하고 있으며 균일 한 임의의 값이 임의의 범위에 속할 확률은 단순히 해당 범위의 길이라는 것을 알고 있습니다. 범위를 순서대로 배치하는 것이 고유하지는 않지만 가장 간단한 방법입니다. 이것은 당신이 이산 분포에 대해서만 묻는다고 가정합니다. 연속적으로 "거부 샘플링"( Wikipedia entry ) 과 같은 작업을 수행 할 수 있습니다 .

존재한다고 가정 가능한 이산 결과가. 누적 확률 질량 함수 에 따라 간격 을 하위 간격으로 나누면 분할 된 간격이됩니다.[ 0 , 1 ] F ( 0 , 1 $m$$[0,1]$$F$$(0,1)$

여기서 및 입니다. 귀하의 예에서 및$I_{j} = (F(j-1), F(j))$$F(0) \equiv 0$$m = 3$

및 및 이기 때문 입니다.$F(1) = .04$$F(2) = .54$$F(3) = 1$

그런 다음 다음 알고리즘을 사용하여 분포 사용하여 를 생성 할 수 있습니다 .$X$$F$

(1)$U \sim {\rm Uniform}(0,1)$

(2) 인 경우 입니다.$U \in I_{j}$$X = j$

• 이 단계는 가 각 누적 확률 보다 작은 지 여부를 확인 하고 변경 지점 (에서 ~까지 )을 확인하여 사용하는 프로그래밍 언어에서 부울 연산자를 사용하여 벡터에서 처음 발생 하는 위치 찾기$U$TRUEFALSEFALSE

참고 정확히 하나의 간격의에있을 것입니다 가 해체 및 파티션이기 때문에 .$U$$I_{j}$$[0,1]$

하나의 간단한 알고리즘은 균일 한 난수로 시작하고 루프에서 첫 번째 확률을 먼저 뺍니다. 결과가 음수이면 첫 번째 값을 반환하고 여전히 긍정적이면 다음 반복으로 이동하여 다음 확률을 뺍니다. , 부정인지 확인하십시오.

이것은 값 / 확률의 수가 무한 할 수 있다는 점에서 좋지만 (포아송 또는 음의 이항 분포에서 생성하는 것과 같은) 숫자에 가까울 때만 확률을 계산하면됩니다.

유한 확률 집합이 있지만 그로부터 많은 수를 생성하는 경우 확률을 정렬하는 것이 더 효율적이어서 가장 큰 값을 먼저 빼고 다음으로 두 번째로 큰 값을 뺄 수 있습니다.

우선, 임의의 분포를 따르는 정수 또는 부동 소수점 난수 생성을 위해 즉시 사용 가능한 클래스가 있는 파이썬 라이브러리에 주의를 기울 이십시오.

일반적으로이 문제에는 몇 가지 접근 방식이 있습니다. 일부는 시간이 선형이지만 큰 메모리 저장 공간이 필요하고 일부는 O (n log (n)) 시간에 실행됩니다. 일부는 정수에 최적화되어 있고 일부는 순환 히스토그램에 대해 정의되어 있습니다 (예 : 하루 동안 임의의 시간대를 생성). 위에서 언급 한 라이브러리 에서이 문서 는 정수의 경우와 부동 소수점의 경우에 대한 레시피 를 사용했습니다. 원형 히스토그램 지원이 부족하고 일반적으로 지저분하지만 잘 작동합니다.

나는 같은 문제가 있었다. 각 항목에 확률이 있고 항목의 확률이 최대 하나 인 집합을 감안할 때, 효율적으로 샘플을 그리고 싶었습니다. 즉, 어떤 것도 정렬하지 않고 반복적으로 반복하지 않습니다 .

다음 함수는 간격 내에서 균일하게 분포 된 난수 중 가장 낮은 값을 그립니다 . 하자 에서 임의의 숫자 .$N$$[a,1)$$r$$[0,1)$

이 함수를 사용하여 [0,1) 에 균일하게 분포 된 난수 의 오름차순 시리즈 를 그릴 수 있습니다 . 다음은 인 예입니다 .$(a_i)$$N$$N = 10$

$a_0 = \text{next}(10, 0)$
$a_1 = \text{next}(9, a_0)$
$a_2 = \text{next}(8, a_1)$
$\dots$
$a_9 = \text{next}(1, a_8)$

균일하게 분포 된 숫자의 오름차순 시리즈 를 그리면서 임의 (아직 유한) 분포를 나타내는 확률 세트 를 반복 합니다. 하자이터레이터이고 입니다. 그린 후 까지 0 번 이상 증가시킵니다 . 그런 다음 샘플 에 를 추가 하고 도면으로 갑니다 .$(a_i)$$P$$0 \leq k < |P|$$p_k \in P$$a_i$$k$$\sum p_0 \dots p_k > a_i$$p_k$$a_{i+1}$

op의 세트가 이고 샘플 크기 :$\{(1, 0.04), (2, 0.5), (3, 0.46)\}$$N = 10$

나는 a_i k Sum Draw
0 0.031 0 0.04 1
1 0.200 1 0.54 2
2 0.236 1 0.54 2
3 0.402 1 0.54 2
4 0.488 1 0.54 2
5 0.589 2 1.0 3
6 0.625 2 1.0 3
7 0.638 2 1.0 3
8 0.738 2 1.0 3
9 0.942 2 1.0 3

샘플 :$(1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3)$

함수가 궁금하다면 : 균일하게 분포 된 난수 중 하나 가 의 간격 내에있을 확률의 반대입니다 .$\text{next}$$N$$[a, x)$$x \leq 1$