R의 파레토 분포에 데이터 세트를 맞추려면 어떻게해야합니까?

다음 데이터를 보자.

8232302  684531  116857   89724   82267   75988   63871   
  23718    1696     436     439     248     235

이 (및 다른 여러 데이터 세트)를 파레토 분포에 맞추는 간단한 방법을 원하십시오. 이상적으로는 일치하는 이론적 값을 출력하고, 이상적으로는 매개 변수를 출력하지 않습니다.

r pareto-distribution

— 펠릭스
소스

cran.r-project.org/web/packages/fitdistrplus/fitdistrplus.pdf

— 스테판 로랑

"이론적 가치 매칭"이란 무엇입니까? 모수 추정치가 주어진 경우 주문 통계의 기대치는? 또는 다른 것?

— Glen_b-복지 주 모니카

글쎄, 당신은 샘플이있는 경우 $X_1, ..., X_n$ 모수 $m>0$ 및 $\alpha>0$ (여기서 $m$ 은 하한 모수이고 $\alpha$ 는 모양 모수) 을 갖는 파레토 분포의 은 해당 표본의 로그 우도입니다.

n \log (α) + n α \log (m) - (α + 1) \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i})

$n \log(\alpha) + n \alpha \log(m) - (\alpha+1) \sum_{i=1}^{n} \log(X_i)$

이것은 로 단조 증가 하므로 최대 값은 관측 된 데이터와 일치하는 가장 큰 값입니다. 모수 은 파레토 분포에 대한지지의 하한을 정의하므로 최적은 $m$ $m$

\hat{m} = min_{i} X_{i}

$\hat{m} = \min_{i} X_i$

의존하지 않습니다 . 다음으로, 일반 수학 트릭을 사용하기위한 MLE 만족해야 $\alpha$ $\alpha$

\frac{n}{α} + n \log (\hat{m}) - \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) = 0

$\frac{n}{\alpha} + n \log( \hat{m} ) - \sum_{i=1}^{n} \log(X_i) = 0$

간단한 대수학에 따르면 의 MLE 은 $\alpha$

\hat{α} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i} / \hat{m})}

$\hat{\alpha} = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \log(X_i/\hat{m})}$

많은 중요한 의미에서 (예 : Cramer-Rao 하한을 달성하는 점에서 최적의 점근 효율), 이것은 파레토 분포에 데이터를 맞추는 가장 좋은 방법입니다. 아래의 R 코드는 주어진 데이터 세트에 대한 MLE을 계산합니다 X.

pareto.MLE <- function(X)
{
   n <- length(X)
   m <- min(X)
   a <- n/sum(log(X)-log(m))
   return( c(m,a) ) 
}

# example. 
library(VGAM)
set.seed(1)
z = rpareto(1000, 1, 5) 
pareto.MLE(z)
[1] 1.000014 5.065213

편집 : @cardinal에 의한 해설을 바탕으로 아래 I, 우리가 할 수도 참고 의 표본 평균의 역수 에 일의, 지수 분포가 있습니다. 따라서 지수 분포에 맞는 소프트웨어에 액세스 할 수있는 경우 (많은 통계적 문제에서 발생하기 때문에 더 가능성이 높음) 데이터 세트를 이러한 방식으로 변환하고 피팅하여 파레토 분포를 맞출 수 있습니다. 변환 된 스케일에서 지수 분포로. $\hat{\alpha}$ $\log(X_i /\hat{m})$

— 매크로
소스

(+1) 이 rate 와 함께 지수로 분포 되어 있음을 주목함으로써 조금 더 암시 적으로 글을 쓸 수 있습니다 . 이것과 변환중인 MLE의 불일치로부터 우리는 라는 결론을 내립니다 . 여기서 우리 는 후자의 식에서 을 으로 대체 합니다. 또한 명시적인 옵션을 사용할 수없는 경우에도 표준 소프트웨어를 사용하여 파레토에 맞추는 방법을 암시합니다.

Y_{i} = \log (X_{i} / m)

$Y_i = \log(X_i/m)$

α

$\alpha$

\hat{α} = 1 / \bar{Y}

$\hat\alpha = 1/\bar Y$

m

$m$

\hat{m}

$\hat m$

— 추기경

@cardinal-따라서 는 지수 분포를 갖는 의 표본 평균의 역수입니다 . 이것이 우리에게 어떻게 도움이됩니까?

\hat{α}

$\hat{\alpha}$

\log (X_{i} / \hat{m})

$\log(X_i/\hat{m})$

— 매크로

안녕, 매크로 내가 만들려고했던 것은 파레토의 매개 변수를 추정하는 문제를 지수의 비율을 추정하는 문제로 (실질적으로) 줄일 수 있다는 것입니다. 위의 변환을 통해 데이터와 문제를 (아마도) 더 친숙하고 즉시 답을 추출하십시오 (우리 또는 우리의 소프트웨어가 이미 지수의 샘플로 무엇을 해야할지 알고 있다고 가정).

— 추기경

이런 종류의 적합 오차를 어떻게 측정 할 수 있습니까?

— emanuele

@emanuele, MLE의 근사 분산은 피셔 정보 매트릭스의 역수이며, 로그 우도의 적어도 하나의 미분을 계산해야합니다. 또는 일종의 부트 스트랩 리샘플링을 사용하여 표준 오류를 추정 할 수 있습니다.

— Macro

패키지에 fitdist제공된 기능을 사용할 수 있습니다 fitdistrplus.

library(MASS)
library(fitdistrplus)
library(actuar)

# suppose data is in dataPar list
fp <- fitdist(dataPar, "pareto", start=list(shape = 1, scale = 500))
#the mle parameters will be stored in fp$estimate

— 아카 쉬 라크
소스

그럴까요 library(fitdistrplus)?

— Sean

@Sean 예, 그에 따라 응답을 편집

— 케빈 L 키

library(actuar)이 기능이 작동 하려면 호출 이 필요합니다.

— jsta

이 경우 fp $ estimate [ "shape"]는 무엇을 나타 냅니까? 아마도 추정 알파일까요? 아니면 베타?

— Albert Hendriks