임계 베타 분포를 효율적으로 샘플링

다음 분포에서 어떻게 효율적으로 샘플링해야합니까?

엑스 \sim 비 (α, β), 엑스 > 케이

$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$

경우 너무 크지도 않고 다음 거부 샘플링은 가장 좋은 방법이 될 수 있지만, 나는 확실하지 때 진행 방법입니다 크다. 아마도 적용 할 수있는 점근 적 근사가 있습니까? $k$ $k$

random-generation beta-distribution truncation

— 사용자
소스

"로 의도 한 것을 명확하게 알 수는 없습니다 . 잘린 베타 분포 를 의미 합니까 ( 왼쪽

에서 잘림 )?

x \sim B (α, β), x > k

$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$

k

$k$

— Glen_b-복지 주 모니카

@Glen_b 정확히.

— user1502040

1보다 큰 두 가지 형상 매개 변수 모두 베타 분포가 로그 오목하므로 지수 엔벌 로프를 사용하여 거부 샘플링을 수행 할 수 있습니다. 잘리지 않는 베타 변이를 생성하려면 이미 잘린 지수 분포 (쉽게 수행)에서 샘플링하는 것이므로이 방법을 쉽게 적용 할 수 있습니다.

— Scortchi-복원 모니카

답변:

적용되는 간단한 방법이며, 가장 일반적인 방법은, 임의의 (또한 양측에 절단에 일반화 될 수있다) 절단 분포는 사용하는 샘플링 역변환 . 가 누적 누적 관심 분포 인 경우 하고 $F$ $p_0 = F(k)$

유 \sim 유 (피_{0}, 1) 엑스 = {에프}^{- 1} (유)

$U \sim \mathcal{U}(p_0, 1) \\ X = F^{-1}(U)$

여기서 는 에서 왼쪽 잘린 의 샘플입니다 . Quantile 함수 은 확률을 샘플에 매핑 합니다. 절단되지 않은 영역의 베타 분포 값과 일치하는 "영역"에서만 값을 가져 오므로 해당 값만 샘플링합니다. $X$ $F$ $k$ $F^{-1}$ $F$ $U$

이 방법은 아래 이미지에서 잘린 영역이 회색 사각형으로 표시되고 빨간색 점이 분포 에서 그려진 다음 샘플 로 변환되는 이미지에 설명되어 있습니다. $\mathcal{U}(p_0, 1)$ $\mathcal{B}(2, 8)$

— 팀
소스

(+1) Quantile 함수가 그렇게 쉽게 평가되지 않는다는 점은 주목할 가치가 있습니다.

— Scortchi-복원 모니카

@Scortchi a 또는 b가 1 이상이거나 정수이면, 나쁘지 않은 형식이 있습니다 ( wikipedia 참조 ). 그리고 파이썬에는 scipy.special.betainc그 반대가 있고 R에는 있습니다 pbeta.

— Graipher

@Graipher : "일반적으로 저렴하게"말 했어야했는데 가능하다면 Newton-Raphson 또는 다른 반복적 인 솔루션을 피하는 것이 좋습니다. (BTW qbeta는 R의 Quantile 함수를위한 것입니다.)

— Scortchi-Reinstate Monica

@Scortchi 당신이 맞지만, 대부분의 경우 현대 컴퓨터의 경우 큰 문제가되어서는 안됩니다. 그것은 대부분의 소프트웨어에서 직접 사용할 수 있으며 일반화 될 수 있기 때문에 나는 또한이 방법을 추천 어떤 절단 유통 한 분위수 기능에 액세스 할 수있는 경우에만.

— Tim

의심 할 여지없이

따라 런타임이 커지지 않는 일반적으로 적용 가능하고 쉽게 구현되는 방법을 사용하는 것이 좋습니다 . & 와이프 형태의 Quantile 함수, 예를 들어 Weibull을 갖는 분포의 경우, 얻을 수있는만큼 우수해야합니다. 그럼에도 불구하고

는 대부분의 소프트웨어에서 사용 가능하며 베타 확률 확률 계산에만 의존하는 효율적인 거부 샘플링 알고리즘을 능가하기 전에 베타 배포의 상당 부분을 잘라 내야한다고 생각합니다.

k

$k$

k

$k$

— Scortchi-모니 티 복원

@Tim의 답변 은 역변환 샘플링이 잘린 분포에 맞게 조정되어 임계 값 에 대한 런타임 의존성을 완화하는 방법을 보여줍니다 . 베타 양자 함수의 값 비싼 수치 평가를 피하고 역변환 샘플링을 거부 샘플링의 일부로 사용함으로써 추가적인 효율성을 얻을 수 있습니다. $k$

형상 패러미터와 베타 분포 밀도 함수 및 절두 이중에서 (좀더 일반성)입니다 $\alpha$ $\beta$ $k_1<k_2$

에프 (엑스) = \frac{{엑스}^{(α - 1)} (1 - 엑스)^{(β - 1)}}{비 (케이 2, α, β) - 비 ({케이}_{1}, α, β)}

$f(x) = \frac{x^{(\alpha-1)}(1-x)^{(\beta-1)}}{\operatorname{B}(k2, \alpha, \beta) - \operatorname{B}(k_1, \alpha, \beta)}$

& 사이의 밀도에서 단조롭게 증가하는 부분을 취하십시오 : 의 경우 로그 오목하므로, 임의의 지점에 접선으로 지수 함수를 사용하여 포괄 할 수 있습니다 : $x_\mathrm{L}$ $x_\mathrm{U}$ $\alpha,\beta>1$

지 (엑스) = 씨 \cdot λ {이자형}^{- λ (엑스 - {엑스}_{엘})}

$g(x) = c \cdot \lambda \mathrm{e}^{-\lambda (x-x_\mathrm{L})}$

로그 밀도의 그래디언트를 동일하게 설정하여 를 찾으십시오. $\lambda$

&에서 밀도를 충족시키기 위해 지수 밀도를 스케일링해야하는 양을 계산하여 찾기

- λ = \frac{ㅏ - 1}{엑스} - \frac{비 - 1}{1 - 엑스}

$-\lambda = \frac{a-1}{x} - \frac{b-1}{1-x}$

c

$c$

씨 = \frac{에프 (엑스)}{λ {이자형}^{- λ (엑스 - {엑스}_{엘})}}

$c = \frac{f(x)}{\lambda\mathrm{e}^{-\lambda(x-x_\mathrm{L})}}$

ㅏ = 씨 \cdot (1 - {이자형}^{- λ ({엑스}_{유} - {엑스}_{엘})})

$A = c \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda(x_\mathrm{U}-x_\mathrm{L})})$

x

$x$

λ

$\lambda$

c

$c$

\begin{aligned} 큐 (엑스) = & \frac{{엑스}^{ㅏ} (1 - 엑스)^{비}}{(ㅏ + 비 - 2) 엑스 - ㅏ + 1} \cdot \\ [특급 (\frac{(비 - 1) (엑스 - {엑스}_{엘})}{1 - 엑스} + \frac{{엑스}_{엘} (ㅏ - 1)}{엑스} - (ㅏ - 1)) - \\ 특급 (\frac{(비 - 1) (엑스 - {엑스}_{유})}{1 - 엑스} + \frac{{엑스}_{유} (ㅏ - 1)}{엑스} - (ㅏ - 1))] \end{aligned}

$\begin{align} Q(x)= & \frac{x^a (1-x)^b}{(a+b-2)x - a+1} \cdot\\ & \left[\exp\left(\frac{(b-1)(x-x_L)}{1-x} + \frac{x_L (a-1)}{x} - (a-1)\right) - \right.\\ & \left. \exp\left(\frac{(b-1)(x-x_U)}{1-x} + \frac{x_U(a-1)}{x} - (a-1)\right)\right]\\ \end{align}$

$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x}$ $x$ $\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} = 0$

$k_1$ $k_2$ $U$ $\frac{- \log(1-U)}{\lambda}$ $\lambda$

이 방법의 장점은 모든 노력이 준비되어 있다는 것입니다. 엔벌 로프 함수가 정의되면 잘린 베타 밀도에 대한 정규화 상수가 남은 것은 균일 한 무작위 변이를 생성하고 간단한 산술 연산, 로그 및 검정 및 비교를 수행하는 것입니다. 수평선 또는 더 많은 지수 곡선으로 엔벨로프 기능을 강화하면 거부 횟수를 줄일 수 있습니다.

— Scortchi-복권 모니카
소스

+1 좋은 생각입니다. 베타는 매개 변수의 중간 정도에서 큰 수치에 대해 거의 정상이므로 서로 얼마나 가까이 있는지에 따라 가우시안 엔벨로프를 사용하는 것이 훨씬 더 효율적일 수 있습니다.

— whuber

α < 1

$\alpha<1$

β < 1

$\beta<1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

@ whuber : (1) 봉투를 구성하기 위해 여기에서 취한 접근법은 밀도가 로그 오목하지 않기 때문에 작동하지 않습니다. (2) (a) 나는 확실히 대수 함수 + 로그 & 파워를 의미했다. 내가 요청 받았을 때 함수, 그리고 아마도 감마 함수-나는 정확한 개념이 없다고 고백합니다. (b) 요점-빠른 기능 평가는 폐쇄 된 형태의 평가에만 국한되지 않습니다.

— Scortchi-복원 Monica Monica

α < 1

$\alpha\lt 1$

β < 1

$\beta \lt 1$