PCA와 점근 적 PCA의 차이점은 무엇입니까?

1986 년 과 1988 년 두 논문에서 Connor와 Korajczyk는 자산 수익을 모델링하는 방법을 제안했습니다. 이러한 시계열은 일반적으로 기간 관측치보다 많은 자산을 가지므로 자산 수익률의 단면 공분산에 대해 PCA를 수행 할 것을 제안했습니다. 그들은이 방법을 Asymptotic Principal Component Analysis (APCA)라고 부릅니다. 관객은 PCA의 점근 적 특성을 즉시 생각하기 때문에 다소 혼란 스럽습니다.

나는 방정식을 풀었고 두 가지 접근법은 수치 적으로 같습니다. 수렴은 대신 대해 입증되었으므로 물론 무증상은 다릅니다 . 내 질문은 : APCA를 사용하고 PCA와 비교 한 사람이 있습니까? 구체적인 차이점이 있습니까? 그렇다면 어느 것입니까?T → $N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

아무런 차이가 없습니다.

표준 PCA와 C & K가 제안한 "점근 적 PCA"사이에는 전혀 차이가 없습니다. 별도의 이름을 지정하는 것은 매우 어리 석습니다.

다음은 PCA에 대한 간단한 설명입니다. 행에 샘플이있는 중심 데이터가 데이터 행렬 저장된 경우 PCA는 공분산 행렬 고유 벡터를 찾고 이들에 데이터를 투영합니다 주요 성분을 얻기위한 고유 벡터. 마찬가지로, 그람 행렬 고려할 수 있습니다 . 정확히 동일한 고유 값을 가지고 있고 고유 벡터가 스케일 된 PC라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. (샘플 수가 피처 수보다 적을 때 편리합니다.)$\mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

C & K가 제안한 것은 주요 구성 요소를 계산하기 위해 그램 행렬의 고유 벡터를 계산하는 것 같습니다. 와우 이것은 PCA와 "동등"하지 않습니다. 그것은 이다 PCA.

혼란을 더하기 위해, "점근선 PCA"라는 이름은 PCA가 아닌 요인 분석 (FA)과의 관계를 나타냅니다! 원본 C & K 논문은 월급을 받고 있으므로 다음은 Google 도서에서 제공되는 Tsay, Financial Time Series 분석의 인용문 입니다.

코너 및 Korajczyk (1988)로서 보여 주었다 [기능 번호] 고유 값 - 고유 벡터 [그람 매트릭스]의 분석은 기존의 통계적인 요인 분석 동등하다.→ $k$$\to \infty$

이것이 실제로 의미하는 것은 일 때 PCA는 FA와 동일한 솔루션을 제공한다는 것입니다. 이것은 PCA 및 FA에 대해 이해하기 쉬운 사실이며 C & K가 제안한 것과는 아무런 관련 이 없습니다 . 나는 다음과 같은 스레드에서 그것을 논의했다 :$k \to \infty$

• EFA 대신 PCA를 사용해야 할 이유가 있습니까? 또한 PCA가 요인 분석을 대신 할 수 있습니까?
• PCA와 FA는 어떤 조건에서 유사한 결과를 산출합니까?

결론적으로 C & K는 표준 PCA ( "asymptotic FA"라고도 함)에 대해 "asymptotic PCA"라는 용어를 사용하기로 결정했습니다. 이 용어를 사용하지 않는 것이 좋습니다.

일반적으로 APCA는 많은 시리즈가 있지만 샘플이 거의 없을 때 사용됩니다. 나는 당신이 언급 한 동등성 때문에 APCA를 PCA보다 좋거나 나쁘다고 묘사하지 않을 것입니다. 그러나 도구를 적용 할 수있는 시점이 다릅니다. 그것이 종이의 통찰력입니다. 더 편리하다면 치수를 뒤집을 수 있습니다! 따라서 언급 한 응용 프로그램에는 많은 자산이 있으므로 공분산 행렬을 계산하기 위해 긴 시계열이 필요하지만 이제는 APCA를 사용할 수 있습니다. 즉, APCA와 같은 다른 기술을 사용하여 차원을 줄이려고 할 수 있기 때문에 APCA가 자주 적용되는 것은 아니라고 생각합니다.