관련 Bernoulli 시험, 다변량 Bernoulli 분포?

직장에서 가지고있는 연구 질문을 단순화하고 있습니다. 내가 5 개의 동전을 가지고 있고 머리를 성공적으로 부르 자고 상상해보십시오. 이들은 성공 확률 p = 0.1 인 매우 편향된 동전입니다. 이제 동전이 독립적이라면 적어도 1 머리 이상 확률을 얻는 것은 매우 간단합니다. . 내 시나리오에서 Bernoulli 시험 (코인 토스)은 독립적이지 않습니다. 내가 액세스 할 수있는 유일한 정보는 성공 확률 (각각 p = 1입니다)과 이진 변수 간의 이론적 피어슨 상관 관계입니다. $1-(1-1/10)^5$

이 정보만으로 하나 이상의 성공 확률을 계산할 수있는 방법이 있습니까? 이러한 이론적 결과가 시뮬레이션 연구의 정확성을 안내하는 데 사용될 것이기 때문에 시뮬레이션 기반 접근법을 피하려고합니다. 나는 다변량 Bernoulli 분포를 조사했지만 상관 관계와 성공의 한계 확률로만 완전하게 지정할 수 있다고 생각하지 않습니다. 내 친구는 Bernoulli marginals (R package 사용 copula)를 사용하여 Gaussian copula를 구성 한 다음 pMvdc()큰 샘플 에서 함수 를 사용하여 원하는 확률을 얻을 것을 권장 했지만 정확히 어떻게 사용 해야하는지 잘 모르겠습니다.

multivariate-analysis bernoulli-distribution copula

— 펑키
소스

다변량 베르누이 분포는 여기에 설명되어 있습니다 : arxiv.org/abs/1206.1874

— Tim

시련 사이에 일시적인 요소가 있습니까, 아니면 모두 병렬입니까? 전자의 경우 가 에만 의존 하는 단순화 가정을 할 수 있습니다 . 여기서 은 Markov 모델의 순서를 나타냅니다.

t r i a l_{i}

$trial_i$

t r i a l_{i - n}

$trial_{i-n}$

n

$n$

— 바브

답변:

아니요, 세 개 이상의 동전이있을 때마다 불가능합니다.

두 개의 동전의 경우

두 개의 코인에 대해 왜 그것이 더 많은 코인의 경우에 무엇이 고장인지에 대한 직관을 제공하기 때문에 왜 그것이 작동하는지 봅시다.

하자 및 두 경우에, 대응하는 베르누이 분산 나타내는 변수 , . 먼저, 와 의 상관 관계 는 $X$ $Y$ $X \sim \mathrm{Ber}(p)$ $Y \sim \mathrm{Ber}(q)$ $X$ $Y$

c o r r (X, Y) = \frac{E [X Y] - E [X] E [Y]}{\sqrt{V a r (X) V a r (Y)}},

$\mathrm{corr}(X, Y) = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}},$

한계 값을 알고 있으므로 , , 및 을 알고 있으므로 상관 관계를 알고 있으면 . 이제 과 인 경우에만 이므로 $E[X]$ $E[Y]$ $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(Y)$ $E[XY]$ $XY = 1$ $X = 1$ $Y = 1$

E [X Y] = P (X = 1, Y = 1) .

$E[XY] = P(X = 1, Y = 1).$

한계 값을 알면 이고 . 방금 이라는 것을 알았으므로 및 도 알고 있지만 당신이 찾고있는 확률은 $p = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1)$ $q = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1)$ $P(X = 1, Y = 1)$ $P(X = 1, Y = 0)$ $P(X = 0, Y = 0)$

P (X = 1, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 1) .

$P(X = 1, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1).$

이제 개인적으로이 모든 것을 그림으로 쉽게 볼 수 있습니다. 하자 . 그런 다음 다양한 확률을 사각형으로 표시 할 수 있습니다. $P_{ij} = P(X = i, Y = j)$

여기에서 상관 관계를 알면 빨간색으로 표시된 추론 할 수 있고 한계를 알면 각 모서리의 합계 (하나는 파란색 사각형으로 표시됨)를 알 수 있습니다. $P_{11}$

3 개의 동전의 경우

이것은 세 개의 동전만큼 쉽게 갈 수는 없습니다. 직관적으로 그 이유를 알기가 어렵지 않습니다. 한계와 상관 관계를 알면 총 모수를 알 수 있지만 합동 분포에는 결과가 있지만 그 중 에 대한 확률을 알면 마지막 것을 알아낼 수 있습니다. 이제 이므로 한계와 상관 관계가 동일한 두 개의 서로 다른 관절 분포를 만들 수 있고 찾고자하는 것이 다를 때까지 확률을 퍼뜨리는 것이 합리적입니다. $6 = 3 + 3$ $2^3 = 8$ $7$ $7 > 6$

하자 , , 및 세 가지 변수, 그리고하자 $X$ $Y$ $Z$

P_{i j k} = P (X = i, Y = j, Z = k) .

$P_{ijk} = P(X = i, Y = j, Z = k).$

이 경우 위의 그림은 다음과 같습니다.

치수가 하나씩 충돌했습니다. 빨간색 정점이 여러 개의 색상이있는 가장자리가되고 파란색 사각형으로 덮인 가장자리가 전체면이되었습니다. 여기서 파란색 평면은 한계 값을 알면 확률의 합을 알 수 있습니다. 사진 속 하나를 위해

P (X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},

$P(X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},$

입방체의 다른 모든면에 대해서도 비슷합니다. 색상이있는 모서리는 상관 관계를 알면 모서리로 연결된 두 확률의 합을 알 수 있습니다. 예를 들어, 을 알고 있으면 (정확하게 위와 같음) 를 알게 됩니다. $\mathrm{corr}(X, Y)$ $E[XY]$

E [X Y] = P (X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111} .

$E[XY] = P(X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111}.$

따라서 이것은 가능한 관절 분포에 약간의 제한을 두지 만, 이제 큐브의 꼭짓점에 숫자를 넣는 조합 연습으로 운동을 줄였습니다. 더 이상 고민하지 않고 한계와 상관이 동일한 두 개의 공동 분포를 제공하십시오.

여기에서 확률 분포를 얻기 위해 모든 수를 으로 나눕니다 . 이러한 작업이 동일하고 한계 / 상관 관계가 동일한 지 확인하려면 각면의 확률의 합이 (변수가 )이고 합이 색상이있는 모서리의 정점은 두 경우 모두에 동의합니다 (이 경우에는 모든 상관 관계가 실제로 동일하지만 일반적인 경우는 아닙니다). $100$ $1/2$ $\mathrm{Ber}(1/2)$

마지막으로, 적어도 하나의 헤드 및 을 얻는 확률은 두 경우에서 다릅니다. 이것이 우리가 증명하고자하는 것입니다. $1 - P_{000}$ $1 - P_{000}'$

저에게이 예제를 생각해 낸 것은 큐브에 숫자를 두어 하나의 예제를 만든 다음 수정 하고 변경 사항을 전파하는 것입니다. $P_{111}$

편집 : 이것은 실제로 고정 마진으로 작업하고 있으며 각 변수가 이라는 것을 알고 있지만 위의 그림이 의미가 있다면 조정할 수 있습니다. 원하는 여백이 생길 때까지 $\mathrm{Ber}(1/10)$

4 개 이상의 동전

마지막으로, 코인이 3 개 이상인 경우 조인트 분포를 설명하는 데 필요한 매개 변수의 수와 한계 및 상관 관계.

구체적으로, 3보다 큰 동전의 수에 대해, 위의 두 예에서와 같이 처음 세 개의 동전이 동작하고 최종 두 동전의 결과가 다른 모든 동전과 독립적 인 예를 간단히 고려할 수 있습니다.

— 허풍
소스

관련된 Bernoulli 시험은 계산 된 결과에 대한 베타 이항 분포로 이어집니다. 지정된 분포 값을 제공하기 위해이 분포를 매개 변수화 한 다음 원하는 확률을 계산할 수 있어야합니다.

— 벤-복원 모니카
소스

베타 이항은 성공 확률 매개 변수가 베타 다음의 임의 변수 인 이항이 아닌가? OP의 문제에 어떻게 적용됩니까?

— AG

예, 그것은 분포의 한 특성입니다. 또한 관련 Bernoulli 시험의 솔루션 중 하나입니다 (예 : Hisakado et al 2006 참조 )

— Ben-Reinstate Monica

그렇습니다! 공감.

— AG

관련 : stats.stackexchange.com/questions/363129

— 아메바는 모니카의 복원 모니카