대칭 분포의 정의는 무엇입니까?

대칭 분포의 정의는 무엇입니까? 누군가 와 가 같은 분포를 가진 경우에만 임의의 변수 $X$ 가 대칭 분포에서 나온다고 나에게 말했습니다 . 그러나 나는이 정의가 부분적으로 사실이라고 생각합니다. 및 과 같은 반례를 제시 할 수 있기 입니다. 분명히, 그것은 대칭 분포를 가지고 있지만 와 는 다른 분포를 가지고 있습니다! 내가 맞아? 이 질문에 대해 생각해 본 적이 있습니까? 대칭 분포의 정확한 정의는 무엇입니까? $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry

— 시징 SI
소스

"분포가 대칭입니다"라고 말할 때 대칭이되는 점을 지정해야합니다. 정규 분포가 존재하는 경우 대칭은

주위에 제공됩니다

μ

$\mu$ . 이 경우

X - μ

$X-\mu$ 및

- (X - μ)

$-(X-\mu)$ 는 같은 분포를 갖습니다. 밀도의 관점에서 이는 다음과 같이 표현 될 수있다 :

f

$f$ 대략 대칭

μ

$\mu$ 경우

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$ . BTW, 당신이 그들 중 하나에 만족할 때 대답을 받아들이는 것이 예의입니다.

예, 우리는이 질문에 대해 생각했습니다. 대칭은 일반적으로 약

대칭을 의미

0

$0$ 하며, 모든 반대의 예를 포괄하기 위해, 대칭 이 되는 분포에 대한 주장은 누적 확률 분포 함수에 대해 사실이 아닙니다 . "counterexample"은 점

아니라 점

에 대한 대칭을 갖습니다 .

μ \neq 0

$\mu \neq 0$

0

$0$

— Dilip Sarwate

@Dilip 정의가 무언가를 묘사하는 한 가지 방법에 의존하지만 그 정의가 그 무언가의 본질적인 속성으로 보일 수 있다면, 그 정의를 다른 형태의 설명 에 적용하는 것은 의미가 없습니다 . 이 경우 대칭은 분포 의 속성 이지만 해당 분포 에 대한 모든 설명 (PDF 및 CDF 포함)이 동일한 방식으로 "대칭"이어야한다는 것을 의미하지는 않습니다. PDF의 대칭을 CDF에 적용하면 질문이 명확하지 않고 질문을 혼란스럽게합니다.

— whuber

@Procrastinator의 shijing은 답변을받지 않고 많은 질문을 한 것으로 나타났습니다. 이 사이트의 작동 방식에 익숙하지 않을 수 있습니다. 오해를 없애려면 FAQ 의 관련 부분을 모두 읽어 주 시겠습니까? 몇 분 밖에 걸리지 않으며 지침을 따르면 사이트의 가치가 향상됩니다.

— whuber

@whuber CDF는 이름에서 실제로 단어 분포 가 나타나는 몇 가지 설명 중 하나이며 대칭 속성이 CDF에 적용되지 않았다는 것을 분명히하려고했습니다.

— Dilip Sarwate

답변:

간단히 : 는 와 가 실수 대해 같은 분포를 가질 때 대칭 입니다. $X$ $X$ $2a-X$ $a$ 그것은 많은 암시 적 질문을 제기 있기 때문에 완전히 정당화 방식이에 도착하는 것은 약간의 여담과 일반화가 필요합니다 왜 이 "대칭"의 정의? 다른 종류의 대칭이있을 수 있습니까? 분포와 대칭 사이의 관계는 무엇입니까? 반대로 "대칭"과 해당 대칭이있을 수있는 분포 사이의 관계는 무엇입니까?

문제의 대칭은 실제 선의 반영입니다. 모든 형태입니다

엑스 \to 2 ㅏ - 엑스

$x \to 2a-x$

일부 상수 . $a$

따라서 에 적어도 하나의 대한 대칭이 있다고 가정 . 그러면 대칭은 암시합니다 $X$ $a$

홍보 [엑스 \geq ㅏ] = 홍보 [2 ㅏ - 엑스 \geq ㅏ] = 홍보 [엑스 \leq ㅏ]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

보여주는 A는 중간 의 . 마찬가지로 에 기대 값이 있으면 바로 다음에옵니다 . 따라서 우리는 일반적으로 아래로 고정 할 수 있습니다 쉽게. 심지어하지 않을 경우 (가 전혀 존재하는 경우) (따라서 대칭 자체는) 아직 유일하게 결정된다. $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

이것을 보려면 를 대칭 중심 이라고합시다 . 그런 다음 두 가지 대칭을 모두 적용 하면 변환 에서 가 변하지 않는 것을 볼 수 있습니다. 경우 의 분포 기간 있어야 주기적인 분포의 총 확률이 하나이기 때문에 불가능 또는 무한. 따라서 은 가 고유함을 나타냅니다. $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

더 일반적으로, 때 진짜 라인에 충실하게 행동하는 그룹이 (그리고 모든 보렐 부분 집합의 확장에 의해), 우리는 유통 말할 수 (에 대한 "대칭"입니다 경우) $G$ $X$ $G$

홍보 [엑스 \in 이자형] = 홍보 [엑스 \in {이자형}^{지}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

모든 측정 세트 및 요소 , 이미지이고 작용 하에서 . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

예를 들어, 하자 여전히 질서의 그룹이 될 ,하지만 지금은 그 행동이 실수의 역수를 취할 수 있도록 (그리고 그것을 해결하자 ). 표준 로그 정규 분포는이 그룹과 대칭입니다. 이 예는 좌표의 비선형 재 표현이 발생한 반사 대칭의 예로 이해 될 수있다. 이는 실제 라인의 "구조"를 존중하는 변환에 중점을 둡니다. 확률에 필수적인 구조는 Borel 세트 및 Lebesgue 측정과 관련되어야하며, 두 지점 사이 의 (유클리드) 거리 로 정의 할 수 있습니다 . $G$ $2$ $0$

거리 보존 맵은 정의상 등거리 변환입니다. 실제 선의 모든 isometries가 반사에 의해 생성된다는 것은 잘 알려져 있습니다 (약간 조금 복잡하지만 시연하기 쉽습니다). "대칭" 이 일부 그룹의 isometries에 대해 대칭을 의미하는 것으로 이해 될 때 , 그룹은 최대 하나의 반사에 의해 생성되어야하며 반사는 그것에 대한 임의의 대칭 분포에 의해 고유하게 결정되는 것을 보았습니다 . 이런 의미에서, 앞의 분석은 철저하고 "대칭"분포의 일반적인 용어를 정당화합니다.

또한, 이소 메 트리 그룹 하에서 변하지 않는 분포 의 다변량 분포의 예 는 "구형"분포를 고려함으로써 제공된다. 이것들은 모든 회전에서 변하지 않습니다 (일부 고정 중심에 상대적). 이것들은 1 차원 경우를 일반화합니다 : 실제 선의 "회전"은 단지 반사입니다.

마지막으로, 그룹 전체에 걸친 표준 구조는 많은 양의 대칭 분포를 생성 할 수있는 방법을 제공합니다. 실수 선의 경우 , 점 에 대한 반사에 의해 가 생성 되도록하여 항등 요소 와이 반사 됩니다. 하자 BE 어떤 분포를. 설정 하여 분포 정의 $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{홍보}_{와이} [이자형] = \frac{1}{| 지 |} \sum_{지 \in 지} {홍보}_{엑스} [{이자형}^{지}] = ({홍보}_{엑스} [이자형] + {홍보}_{엑스} [{이자형}^{지}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

모든 Borel 세트 . 이것은 명백히 대칭이며 분포가 유지되는지 쉽게 확인할 수 있습니다 (모든 확률은 음이 아니고 총 확률은 ). $E$ $1$

그룹 평균화 과정을 설명하기 위해 대칭 감마 분포 ( 중심)의 PDF는 금색으로 표시됩니다. 원래 감마는 파란색이고 반사는 빨간색입니다. $a=2$

— 우버
소스

(+1) 다변량 설정에서 대칭 의 정의 가 고유하지 않다고 덧붙이고 싶습니다 . 이 책 에는 대칭 다변량 분포의 8 가지 가능한 정의가 있습니다.

@Procrastinator "독특하지 않다"는 것이 무엇을 의미하는지 궁금합니다. AFAIK, "대칭"이라는 이름을 정당화하는 것은 궁극적으로 공간에 대한 그룹 조치를 나타냅니다. 통계 학자들이 어떤 종류의 행동이 유용한지를 발견하는 것은 흥미로울 것입니다. 해당 책은 인쇄되지 않았으며 웹에서 사용할 수 없기 때문에 해당 책에서 고려 된 두 가지 다른 종류의 대칭에 대한 간단한 예를들 수 있습니까?

— whuber

직감이 정확하며 통계적 특징과 관련이 있습니다. 중앙 대칭

; 모든 직교 행렬

대한구면 대칭

. 나머지는 기억 나지 않지만 요즘에는 책을 빌리려고합니다. 이링크에서 그 중 일부를 찾을 수 있습니다.

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@ Procrastinator 감사합니다. 제공하는 두 가지 예는 모두 제가 제공 한 일반적인 정의의 특수한 경우입니다. 중앙 대칭은 두 요소로 구성된 이소 메 트리 그룹을 생성하고 구면 대칭은 모든 이소 메 트리의 하위 그룹입니다. 링크의 "타원 대칭"은 아핀 변환 후의 구형 대칭이므로, 로그 정규 예에서 지적한 현상을 예시한다. "각도 대칭"은 다시 한 번 isometries 그룹을 형성합니다. "반 공간 대칭"[sic]은 대칭이 아니지만 그로부터 이산이 가능합니다. 새로운 기능입니다.

— whuber

대답은 대칭의 의미에 따라 다릅니다. 물리학에서 대칭 개념은 기본적이고 매우 일반화되었습니다. 대칭은 시스템을 변경하지 않은 상태로 유지하는 모든 작업입니다. 확률 분포의 경우 동일한 확률 를 반환하는 모든 연산 로 변환 될 수 있습니다 . $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

첫 번째 예의 간단한 경우 최대에 대한 반사 대칭을 참조합니다. 분포가 정현파 인 경우 조건을 가질 수 있습니다. 여기서 는 파장 또는주기입니다. 그런 다음 이고 여전히 일반적인 대칭 정의에 적합합니다. $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

— 마이클 호프만
소스