푸 아송 분포는 안정적이며 MGF에 대한 역수식이 있습니까?

먼저, 포아송 분포가 "안정적"인지 아닌지에 대한 질문이 있습니다. 매우 순진하게 (그리고 "안정한"분포에 대해 너무 확신하지 못합니다) MGF의 산물을 사용하여 Poisson 분산 RV의 선형 조합 분포를 계산했습니다. 개별 RV의 매개 변수의 선형 조합과 동일한 매개 변수를 사용하여 다른 Poisson을 얻는 것처럼 보입니다. 포아송이 "안정적"이라고 결론을 내 렸습니다. 내가 무엇을 놓치고 있습니까?

둘째, 특성 함수와 같은 MGF에 대한 반전 공식이 있습니까?

distributions poisson-distribution mgf

— 솔직한
소스

임의의 선형 조합이 아닌 (독립적) sum으로 닫힙니다 . 당신이 당신의 작업을 포함한다면, 나는 그 과정에서 왜 그런지 알게 될 것입니다. 그렇지 않은 경우 누군가 지적 할 수 있습니다. 그렇습니다. 특징적인 기능과 비슷한 역전이 있습니다. Laplace 변환 및 Bromwich 윤곽 통합에 대해 무엇을 알고 있습니까?

— 추기경

좋아, 나는 다시 판으로 돌아갈 것이다. i 번째 Poisson의 MGF는 exp (lambda_i (exp (t)-1))과 같습니다. 따라서 n Poisson MGF의 곱은 나에게 exp (sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t)-1))를 제공하고 새로운 람다 = sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. 이제 나는 명백한 실수를 저지른 것에 대해 바보처럼 보일 것 같습니다. -Laplace 변환 및 윤곽 통합에 대해 알고 있지만 Bromwish 윤곽 통합에 대해서는 알고 있지 않습니다. -일반적으로 MGF 대신 CF로 작업하는 것이 좋습니다? 더 강력 해 보입니다.

— Frank

귀하의 의견에 는 무엇입니까 ? 또한, 수학 LaTeX를 달러 기호로 둘러 싸서 작동 시키십시오 (\ exp를 사용하여 "exp"가 올바르게 표시되도록하고 \ lambda를 사용하여 , \ sum for 등)

α_{i}

$\alpha_i$

λ

$\lambda$

\sum

$\sum$

— jbowman

네, 저는 LaTex를 잘 못하지만 여기에갑니다. 따라서 RV의 선형 조합은 이며 MGF의 곱은 , 만약 내가 맞다면 RV가 으로 배포된다면 . 모든 RV에 동일한 t를 사용했지만 을 사용해야 합니다.

\sum_{i = 0}^{n} α_{i} X_{i}

$\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} X_{i}$

\exp (\sum_{i = 0}^{n} α_{i} λ_{i} (\exp (t_{i}) - 1))

$\exp(\sum_{i=0}^{n}\alpha_{i} \lambda_{i} (\exp(t_{i}) - 1))$

P o i s s o n (λ_{i})

$Poisson(\lambda_{i})$

t_{i}

$t_{i}$

— Frank

실수는 의 MGF 가 아니라

a_{i} X_{i}

$a_iX_i$

e x p (λ_{i} (e x p (a_{i} t) - 1))

$exp(\lambda_i (exp(a_i t)-1))$

e x p (a_{i} λ_{i} (e x p (t) - 1))

$exp(a_i\lambda_i (exp(t)-1))$

— gui11aume

답변:

포아송 랜덤 변수의 선형 조합

계산 한 바와 같이, 비율을 가진 포아송 분포의 모멘트 생성 함수 는 $\lambda$

m_{X} (t) = E e^{t X} = e^{λ (e^{t} - 1)} .

$m_X(t) = \mathbb E e^{t X} = e^{\lambda (e^t - 1)} \>.$

이제 독립 포아송 랜덤 변수 와 의 선형 조합에 초점을 맞추겠습니다 . 하자 . 그런 다음 $X$ $Y$ $Z = a X + b Y$

m_{Z} (t) = E e^{t Z} = E e^{t (a X + b Y)} = E e^{t (a X)} E e^{t (b Y)} = m_{X} (a t) m_{Y} (b t) .

$m_Z(t) = \mathbb Ee^{tZ} = \mathbb E e^{t (a X + b Y)} = \mathbb E e^{t(aX)} \mathbb E e^{t (bY)} = m_X(at) m_Y(bt) \>.$

따라서 에 있고 에 가 있으면 일반적으로 일부 않는 . $X$ $\lambda_x$ $Y$ $\lambda_y$

m_{Z} (t) = \exp (λ_{x} (e^{a t} - 1)) \exp (λ_{y} (e^{b t} - 1)) = \exp (λ_{x} e^{a t} + λ_{y} e^{b t} - (λ_{x} + λ_{y})),

$m_Z(t) = \exp({\lambda_x (e^{at} - 1)}) \exp({\lambda_y (e^{bt} - 1)}) = \exp(\lambda_x e^{at} + \lambda_y e^{bt} - (\lambda_x + \lambda_y))\>,$

\exp (λ (e^{t} - 1))

$\exp(\lambda(e^t - 1))$

λ

$\lambda$

a = b = 1

$a = b = 1$

모멘트 생성 기능의 반전

모멘트 생성 함수가 0 근처에 존재하면 0 주위의 무한 스트립에 복소수 함수로 존재합니다. 이를 통해 윤곽 통합에 의한 반전이 많은 경우에 발생합니다. 실제로, 음이 아닌 랜덤 변수 의 라플라스 변환 는 확률 프로세스 이론에서 특히 정지 시간을 분석하기위한 일반적인 도구입니다. 참고 실제 가치에 대한 . 음수가 아닌 임의 변수에 대해 대해 Laplace 변환이 항상 존재 한다는 것을 실연으로 증명해야 합니다. $\mathcal L(s) = \mathbb E e^{-s T}$ $T$ $\mathcal L(s) = m_T(-s)$ $s$ $s \geq 0$

그런 다음 Bromwich Integral 또는 Post inversion 공식을 통해 반전을 수행 할 수 있습니다 . 후자의 확률 론적 해석은 몇 가지 고전적인 확률 텍스트에서 연습으로 찾을 수 있습니다.

직접 관련이 없지만 다음 참고 사항에 관심이있을 수 있습니다.

JH Curtiss (1942), 모멘트 생성 기능 이론에 대한 메모 , Ann. 수학. 통계 , vol. 13 번 4, 430–433 쪽.

연관된 이론은 특징적인 기능을 위해보다 일반적으로 개발되었는데, 이는 완전히 일반적인 것이기 때문이다 : 그것들은 지원이나 모멘트 제한없이 모든 분포에 존재한다 .

— 추기경
소스

(+1) 반전 공식은 순전히 이론적입니까, 아니면 실제로 사용됩니까?

— gui11aume

@ gui11aume : 그것은 장소에서 사용됩니다; 그러나 일반적으로 텍스트에서 찾을 수있는 예제는 일반적으로 필요하지 않은 예제입니다. :)

— 추기경

아마도 MGF보다 CF로 작업하는 것이 더 쉬운가요? MGF가 항상 존재하지는 않습니다. 왜 그들을 귀찮게합니까?

— Frank

@ 프랭크 : 교육적으로 그들은 미적분학을 알고 있지만 복잡한 변수에 대한 배경이 거의없는 학생들에게 소개하기가 더 쉽습니다. 이들이 존재하면 CF와 완전히 유사한 특성을 갖습니다. 그것들은 확률 이론과 이론적 통계의 일부에서 큰 편차와 지수 기울기와 같은 중요한 역할을합니다.

— 추기경

@Frank : Levy -stable 분포이며 MGF가있는 유일한 분포는 정규 분포입니다. 실제로 CF는 이 문제 의 도구입니다. CF의 가능한 형태는 모든 그러한 분포에 대해 알려져 있지만, 닫힌 형태의 해당 PDF는 선택된 소수의 경우에만 알려져 있습니다.

α

$\alpha$

— 추기경

푸 아송 분포는 요약하면 안정적입니다. 정수가 아닌 값으로 끝날 수 있기 때문에 선형 조합으로는 안정적이지 않습니다. 예를 들어 가 포아송 인 경우 는 포아송이 아닙니다. $X$ $X/2$

MGF에 대한 반전 공식을 알지 못합니다 (그러나 @cardinal은 것 같습니다).

— gui11aume
소스

(+1) 나는 문제의 핵심을 바로 앞설 수있는 간단한 예시적인 증거와 반례를 좋아하기 때문입니다.

— 추기경

용어에 대한 질문이 있습니다. 통계에서 나는 안정된 dsitributions가 안정적인 법칙이라고하는 수렴 조건을 만족하는 분포의 한계 인 것들을 연구했다. 연속 비정규 분포입니다. 정규화 된 평균 Z의 한계에 대한 분포이지만 모집단 분포의 꼬리 거동으로 인해 중앙 한계 정리가 Z에 적용되지 않습니다. 특정 매개 변수 alpha = 2 인 경우 실제로 중심 제한 정리는 안정적인 법칙에 속할 수 있습니다.

— Michael R. Chernick

여기서 당신이 안정이라고 부르는 것은 무한히 나눌 수있는 용어처럼 보입니다. 안정적인 용어는 어떤 분야에서 사용됩니까? 확률과 통계에 사용됩니까?

— Michael R. Chernick

(+1) Wikipedia에 따르면 "안정된"분포는 가 와 동일한 분포를 가지므로 Poisson의 경우는 아닙니다. 유일하게 올바른 용어 (내가 틀렸다면 바로 잡아라)는 "포아송 가족은 총체적으로 안정적"이라고 생각합니다. 일반적으로 이것은 분포가 무한히 나눌 수 있음을 의미하지는 않지만 (이항식을 생각하면) 푸아 송은이 속성을 갖습니다.

a X_{1} + b X_{2}

$aX_1 + bX_2$

c X + d

$cX + d$

— gui11aume