모멘트 생성 함수와 확률 생성 함수의 차이점은 무엇입니까?

나는 "확률 생성 함수"와 "모멘트 생성 함수"라는 두 용어 사이에 혼동된다. 그 용어들은 어떻게 다릅니 까?

확률 생성 함수는 일반적으로 (음수가 아닌) 정수 값 랜덤 변수에 사용되지만 실제로 모멘트 생성 함수의 재 포장입니다. 두 사람은 같은 정보를 가지고 있습니다.

하자 음수가 아닌 확률 변수합니다. 그런 다음 ( https://en.wikipedia.org/wiki/Probability-generating_function 참조 ) 확률 생성 함수는 이고 모멘트 생성 함수는 되도록 정의하십시오 . 그런 다음 결론적으로, 관계는 단순 : $X$

$$\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} G(z) = \E z^X$$ $$M_X(t) = \E e^{t X}$$ $\log z=t$$e^t=z$ $$G(z)=\E z^X = \E (e^t)^X = \E e^{t X} =M_X(t)=M_X(\log z)$$ $$G(z) = M_X(\log z)$$

EDIT   

@Carl은이 공식에 대한 의견을 "... 거짓 인 경우를 제외하고는 사실입니다"라고 적어서 의견이 필요합니다. 물론 등식 는 둘 다 정의되어 있고 변수 대한 도메인 이 제공되어야 한다고 가정합니다 . 나는 그 형식이 없으면 게시물이 충분히 명확하다고 생각했지만 때로는 비공식적입니다. 그러나 또 다른 요점이 있습니다. 그렇습니다. 확률 생성 함수는 이름이 나오는 (음수가 아닌) 확률 질량 함수에 주로 사용됩니다. 그러나 이것을 가정하는 정의에는 아무것도 없으며, 음이 아닌 임의의 변수에도 사용할 수 있습니다! 예를 들어, 비율 1의 지수 분포를 취하면 $G(z) = M_X(\log z)$$z$

$$G(z)=\E z^X=\int_0^\infty z^x e^{-x}\; dx=\dots=\frac1{1-\log z}$$ 모멘트 생성 기능을 사용하는 모든 목적에 사용될 수 있으며 두 기능 간의 관계가 충족되었는지 확인할 수 있습니다. 일반적으로 우리는 이것을하지 않습니다. 아마도 음수가 아닌 변수뿐만 아니라 (음수) 음수와 동일한 정의를 사용하는 것이 더 실용적입니다. 그러나 그것은 수학에 의해 강제되지 않습니다.

먼저 둘 다 정의한 다음 차이점을 지정하겠습니다.

1) 확률 이론과 통계에서 실수 랜덤 변수 의 모멘트 생성 함수 (mgf)는 확률 분포의 대안 사양입니다.

2) 확률 이론에서, 이산 랜덤 변수 의 확률 생성 함수 (pgf)는 랜덤 변수의 확률 질량 함수의 전력 계열 표현 (생성 함수)이다.

mgf는 pgf의 일반화로 간주 될 수 있습니다. 차이점은 확률 생성 함수가 이산 랜덤 변수에 적용되는 반면 모멘트 생성 기능은 이산 랜덤 변수 및 일부 연속 랜덤 변수에도 적용된다는 것입니다. 예를 들어, Poisson 분포가 불 연속적으로 적용될 수 있습니다. 실제로, 그들은 같은 형식의 결과를 산출합니다. . mgf 만 정규 분포에 적용되며 mgf 또는 pgf는 Cauchy 분포에 적용되지 않지만 약간 다른 이유가 있습니다.$e^{\lambda(z - 1)}$

Edit

@kjetilbhalvorsen이 지적했듯이 pgf는 이산 랜덤 변수가 아닌 음이 아닌 값에 적용됩니다. 따라서, 확률 생성 기능 에서 현재 위키 백과 항목 은 누락의 실수를 가지고 있으며, 개선되어야한다.