“절대 연속 랜덤 변수”대“연속 랜덤 변수”?

Valentin V. Petrov의 "확률 이론 제한 이론"에서, 분포의 정의가 "연속적"과 "절대적으로 연속적"인 것의 차이점을 보았습니다.

$(*)$ "... 실제 라인의 임의의 유한 또는 카운트 가능한 세트 에 대해 랜덤 변수 의 분포는 연속적이라고합니다 . Lebesgue의 모든 Borel 세트 에 대해 이면 절대적으로 연속적입니다 ... " $X$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$ $P\left(X \in B\right)=0$ $B$

내가 익숙한 개념은 다음과 같습니다.

$(\#)$ "임의의 변수에 연속 누적 분포 함수가 있으면 절대적으로 연속적입니다."

$\textbf{My questions are:}$ 은 와 "절대 연속성"에 대한 두 가지 설명 이 같은 것입니까? 그렇다면 한 설명을 다른 설명으로 어떻게 번역 할 수 있습니까? $(*)$ $(\#)$

감사합니다!

probability distributions random-variable

— 티안
소스

연속적이지만 절대적으로 연속적이지 않은 분포의 표준 예는 stats.stackexchange.com/questions/229556/… 에서 논의되며 , 여기서 그래프가 작성되고 샘플에서 코드가 제공됩니다.

— whuber

설명이 다릅니다. 첫 번째 만 정확합니다. 이 답변은 방법과 이유를 설명합니다. $(*)$

연속 분포

"연속"분포 ( 는 연속적인 기능 의 일반적인 의미에서 연속적 이다 . 이상의 정의는 (일반적으로 첫 번째 사람 자신의 교육에 발생)은 그 각각의 및 번호 존재 (에 따라 및 )되는 값 상의 -neighborhood는 에서 이하로 달라집니다 . $F$ $x$ $\epsilon\gt 0$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F$ $\delta$ $x$ $\epsilon$ $F(x)$

연속 가 랜덤 변수 의 분포 일 때 임의의 수 대해 임을 나타내는 것은이 단계에서 짧은 단계입니다 . 결국, 연속성 정의는 를 축소 하여 만큼 을 작게 만들 수 있음을 의미 하며 (1)이 확률은 아니오 보다 작고 (2) 은 임의로 작을 수 있으며, 따릅니다 . 확률의 계산 가능한 가산 성은이 결과를 유한 또는 계산 가능한 세트 확장합니다 . $F$ $X$ $\Pr(X=x)=0$ $x$ $\delta$ $\Pr(X\in (x-\delta, x+\delta))$ $\epsilon \gt 0$ $\Pr(X=x)$ $\epsilon$ $\Pr(X=x)=0$ $B$

절대 연속 분포

모든 분포 함수 긍정적, 유한 정의 조치를 에 의해 결정 $F$ $\mu_F$

μ_{F} ((a, b]) = F (b) - F (a) .

$\mu_F((a,b]) = F(b) - F(a).$

절대 연속성 은 측정 이론의 개념입니다. 모든 측정 가능한 집합 에 대해 암시 할 때, 하나의 측정 값 는 다른 측정 값 (동일한 시그마 대수에 정의 됨) 와 관련하여 절대적으로 연속적입니다 . 다시 말해, 와 관련하여 "큰"(0이 아닌) 확률을 할당 하는 "작은"(측정 0) 세트는 없습니다 . $\mu_F$ $\lambda$ $E$ $\lambda(E)=0$ $\mu_F(E)=0$ $\lambda$ $\mu_F$

우리는 를 일반적인 Lebesgue 측정 값으로 사용할 것인데, 여기서 는 구간의 길이입니다. 후반은 확률 측정 값 는 Lebesgue 측정과 관련하여 절대적으로 연속적입니다. $\lambda$ $\lambda((a,b]) = b-a$ $(*)$ $\mu_F(B)=\Pr(X\in B)$

절대 연속성은 차별화와 관련이 있습니다. (일부 지점에서 서로에 대해 하나의 미분 계수 ) 직관적 인 개념이다의 이웃 측정의 세트 취할 까지 수축 와 그 이웃의 두 방법과 비교한다. 그들이 어떤 이웃 시퀀스를 선택하더라도 항상 같은 한계에 도달한다면, 그 한계는 미분입니다. (기술적 인 문제가 있습니다. "병리학 적"형태를 갖지 않도록 해당 지역을 제한해야합니다. 각 지역이 무시할 수없는 부분을 차지하도록 요구할 수 있습니다.) $x$ $x$ $x$

이런 의미에서 차별화는 정확히 분포에 대한 확률의 정의는 무엇입니까? 해결 중입니다.

하자의 쓰기 의 유도체 에 대한 . 관련 정리 - 그것은 측정 이론적 버전의 미적분학의 기본 정리 --asserts $D_\lambda(\mu_F)$ $\mu_F$ $\lambda$

$\mu_F$ 는 모든 측정 가능한 세트 대해 경우에만 와 관련하여 절대적으로 연속적입니다. . [루딘, 정리 8.6] $\lambda$
$μ_{F} (E) = \int_{E} (D_{λ} μ_{F}) (x) d λ$ $\mu_F(E) = \int_E \left(D_\lambda \mu_F\right)(x)\,\mathrm{d}\lambda$ $E$

즉, 절대 연속성 ( 대한 )은 밀도 함수 의 존재와 같습니다 . $\mu_F$ $\lambda$ $D_\lambda(\mu_F)$

요약

분 j 경우 연속 함수로 연속 : 직관적가 더 없다 "점프." $F$ $F$
분포 는 밀도 함수 (Lebesgue 측정 값)를 가질 때 절대적으로 연속적입니다. $F$

두 종류의 연속성이 동일하지 않다는 것은 https://stats.stackexchange.com/a/229561/919 에서 설명 된 것과 같은 예에서 설명 합니다. 이것은 유명한 Cantor 기능 입니다. 이 함수의 경우, 는 그래프가 평범한 것처럼 거의 모든 곳에서 수평입니다. 가 거의 0 인 곳이므로 입니다. 이것은 분명히 의 정확한 값을 제공하지 않습니다 (총 확률의 공리에 따라). $F$ $D_\lambda(\mu_F)$ $\int_{\mathbb{R}} D_\lambda(\mu_F)(x)d\lambda = \int_{\mathbb{R}}0 d\lambda = 0$ $1$

코멘트

통계적 응용에 사용되는 거의 모든 분포는 절대적으로 연속적이며, 여기서는 연속적 (이산 적) 또는 그 혼합물이 아니므로 연속성과 절대 연속성의 구분은 종종 무시됩니다. 그러나 이러한 차이를 이해하지 못하면 특히 까다로운 상황, 즉 상황이 혼동 스럽거나 직관적이지 않은 경우에있어 어리석은 추론과 나쁜 직감으로 이어질 수 있으므로 올바른 결과를 얻기 위해 수학에 의존합니다. 그렇기 때문에 우리는 일반적으로 실제로 이런 일을 많이하지는 않지만 모든 사람이 이에 대해 알아야합니다.

참고

루딘, 월터 실제적이고 복잡한 분석 . 1974 년 맥그로 힐 (McGraw-Hill) : 섹션 6.2 (절대 연속성) 및 8.1 (측정의 미분).

— 우버
소스

다른 응용 프로그램에서는 절대적으로 배포가 계속 진행됩니다. 예를 들어 스말의 말굽이 많은 (일부) 동적 시스템에서 Cantor의 분포와 같은 특성을 갖는 분포가 발생합니다.

— kjetil b halvorsen