X와 Y가 서로 관련이 없으면 X ^ 2와 Y도 서로 관련이 없습니까?

두 개의 임의 변수 와 가 서로 관련이없는 경우 와 서로 관련이 없음을 알 수 있습니까? 내 가설은 예입니다. $X$ $Y$ $X^2$ $Y$

$X, Y$ 상관되지 은 를 의미하거나 $E[XY]=E[X]E[Y]$

E [X Y] = \int x y f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y = \int x f_{X} (x) d x \int y f_{Y} (y) d y = E [X] E [Y]

$E[XY]=\int xy f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int xf_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X]E[Y]$

그것은 또한 다음을 의미합니까?

이자형 [{엑스}^{2} 와이] = \int {엑스}^{2} 와이 {에프}_{엑스} (엑스) {에프}_{와이} (와이) 디 엑스 디 와이 = \int {엑스}^{2} {에프}_{엑스} (엑스) 디 엑스 \int 와이 {에프}_{와이} (와이) 디 와이 = 이자형 [{엑스}^{2}] 이자형 [와이]

$E[X^2Y]=\int x^2y f_X(x)f_Y(y)dxdy=\int x^2f_X(x)dx\int yf_Y(y)dy=E[X^2]E[Y]$

random-variable independence

— 베 가르드 스 티크 베이크
소스

예. 이 질문은 이전에 요청 및 답변되었지만 모바일 장치에서 특정 참조를 찾을 수 없습니다.

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate 수락 된 답변이 이미 반대의 예를 제시하는 것 같습니다.

— Vim

@DilipSarwate 댓글에 "예"대신 "아니오"를 의미 했어야합니다!

— amoeba는

@amoeba 질문의 원래 버전은 답변이 실제로 어떻게 독립 되는지에 대한 질문입니다. 관련이없는 임의 변수에 대해 질문하기 위해 편집되었습니다. 지금 내 의견을 변경할 수 없습니다.

— Dilip Sarwate

독창적 인 질문은 독립의 잘못된 정의를 사용했기 때문에 상당히 혼란 스러웠습니다. 현재의 질문은 부적절하게 관련이

주장하기 때문에 여전히 혼란스러워합니다 (

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$ ). @vegardstikbakke가 몇 가지 예와 함께 독립적이고 상관되지 않은 적절한 정의를 읽기를 바랍니다.

— Meni Rosenfeld

답변:

아니요. 반례 :

하자 균일 분산에 , . $X$ $[-1, 1]$ $Y = X^2$

그런 다음 및 ( 은 홀수 함수)이므로 는 상관되지 않습니다. $E[X]=0$ $E[XY]=E[X^3]=0$ $X^3$ $X,Y$

그러나 $E[X^2Y] = E[X^4] = E[{X^2}^2] > E[X^2]^2 = E[X^2]E[Y]$

마지막 불평등은 Jensen의 불평등에서 비롯됩니다. 또한 가 일정하지 않기 때문에 이라는 사실도 따릅니다 . $E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 = Var(X) > 0$ $X$

추론의 문제는 가 의존 하고 그 반대도 가능하므로 두 번째 평등이 유효하지 않다는 것입니다. $f_X$ $y$

— 야 aku 바트 주크
소스

젠슨의 불평등으로 더 복잡하게 만들 필요가 없습니다. 는 음이 아닌 임의의 변수이며 wp 1이 아니므로 (또는 하고 쉽게 양의 값을 볼 수 있음) ).

X^{4}

$X^4$

0

$0$

E [X^{4}] > 0

$E[X^4] >0$

\int_{- 1}^{1} x^{4} d x

$\int_{-1}^1 x^4 dx$

— 배트맨

플롯을 추가해야합니다. 비슷한 예 (Y = | X | on -1 : +1)를 고려했지만 시각적으로 제시했을 것입니다.

— 익명-무스

@Batman

E [{X^{2}}^{2}] - E [X^{2}]^{2} > 0

$E[{X^2}^2] - E[X^2]^2 > 0$

— Jakub Bartczuk

@ Anony-Mousse Y를 제한 할 필요가 없습니다. Y = | X | 요구 사항을 충족합니다.

— Loren Pechtel

시각화를위한 LorenPechtel. IMHO이기 때문에 수학 결과가 원하는 것뿐만 아니라 왜 이런 일이 발생할 수 있는지 보는 것이 좋습니다 .

— Anony-Mousse

하더라도 뿐만 아니라, 그 가능성이 및 연관되지만, 심지어 완벽한와 연관 될 수있다 : $\operatorname{Corr}(X,Y)=0$ $X^2$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(1,0,1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 1

또는 : $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=-1$

> x <- c(-1,0,1); y <- c(-1,0,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] -1

R 코드를 읽을 수없는 경우 첫 번째 예는 가 , 또는 같을 가능성이있는 관절 분포를 갖는 두 개의 임의 변수 와 를 고려하는 것과 같습니다. . 완벽하게 음의 상관 관계가있는 예에서 는 , 또는 입니다. $X$ $Y$ $(X,Y)$ $(-1,1)$ $(0,0)$ $(1,1)$ $(X,Y)$ $(-1,-1)$ $(0,0)$ $(1,-1)$

그럼에도 불구하고, 또한 생성 할 수 와 되도록 모든 극단이 가능하므로 : $X$ $Y$ $\operatorname{Corr}(X^2,Y)=0$

> x <- c(-1,-1,0,1,1); y <- c(1,-1,0,1,-1)
> cor(x,y)
[1] 0
> cor(x^2,y)
[1] 0

— 은어
소스

당신의 추론의 오류는이에 대해 다음과 같은 기록이다 : 동안 일반적으로 인 경우, 즉 와 가 독립적 인 경우 두 가지가 일치합니다 . 상관 관계가 없어야하지만 독립하기에는 충분하지 않습니다. 따라서 두 변수 와 가 서로 관련이 없지만 종속적이면 와 가 서로 관련 될 수 있습니다. $E[h(X,Y)]$

이자형 [h (엑스, 와이)] = \int h (엑스, 와이) {에프}_{엑스} (엑스) {에프}_{와이} (와이) 디 엑스 디 와이

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_X(x)f_Y(y)dxdy$

이자형 [h (엑스, 와이)] = \int h (엑스, 와이) {에프}_{엑스 와이} (엑스, 와이) 디 엑스 디 와이 .

$E[h(X,Y)]=\int h(x,y) f_{XY}(x,y)dxdy.$

f_{X Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

$f_{XY}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

f (X)

$f(X)$

g (Y)

$g(Y)$

— 루카 시티
소스