왜 ln [E (x)]> E [ln (x)]입니까?

우리는 재정 과정에서 로그 정규 분포를 다루고 있으며 교과서는 이것이 사실이라고 말합니다. 수학 배경이 매우 강하지는 않지만 직감이 필요하기 때문에 다소 실망 스럽습니다. 왜 이런 경우인지 나에게 보여줄 수 있습니까?

리콜 $e^x\geq 1+x$

$E\left[e^{Y}\right]=e^{ E(Y)} E\left[e^{Y- E(Y)}\right]\geq e^{E(Y)} E\left[1+{Y- E(Y)}\right] = e^{E(Y)}$

따라서$e^{E(Y)}\leq E\left[e^{Y}\right]$

이제 하자.$Y=\ln X$

$e^{E(\ln X)}\leq E\left[e^{\ln X}\right]=E(X)$

이제 양쪽의 로그를 가져

$E[\ln (X)]\leq\ln[E(X)]$

또는

$\ln X = \ln X - \ln \mu+\ln\mu \qquad$ (여기서 )$\mu=E(X)$

$\qquad= \ln(X/\mu)+\ln \mu$

$\qquad= \ln[ \frac{X-\mu}{\mu} + 1]+\ln \mu$

$\qquad \leq \frac{X-\mu}{\mu} + \ln \mu\qquad$ ( )$\ln(t+1)\leq t$

이제 양쪽에 대한 기대를 가지십시오 :

$E[\ln(X)] \leq \ln\mu$

젠슨의 불평등과의 관계를 보여주는 삽화 :

( 여기서 X와 Y의 역할은 플롯 축과 일치하도록 교환됩니다. 더 나은 계획은 위의 역할을 스왑하여 플롯이 대수와 더 직접 일치하도록합니다. )

실선은 각 축의 평균을 나타냅니다.

보시다시피 관계 가 중간에서 를 향해 "구부러지고 " 에서 멀어 지기 때문에 (오렌지 가로선) 의 평균은 곡선을 치기 전에 조금 더 먼 곳을지나갑니다 (작은 간격 (파란색으로 표시) ) (log (mean (y))와 mean (log (y))) 사이에)Y $X$$Y$$Y$