보여주는 구성 예제

어떻게 해당하는 확률 분포의 일례 구축 가정 보유 ? $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}$ $\mathbb{P}(X\ne0)=1$

양수의 RV 대한 Jensen의 불평등에 따른 불평등 은 ( 경우 역 불평등 ). 이는 매핑이 대해 볼록 하고 대해 오목하기 때문 입니다. Jensen의 불평등의 평등 조건에 따라 필요한 평등을 유지하기 위해 분포가 퇴화되어야한다고 생각합니다. 경우 평등 보유 일반의 경우는 물론이고 여기 AE 내가 문제의 책에서 발견 된 예는 다음과 같습니다 이산 확률 변수의 고려 그러한를 $X$ $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)\ge\frac{1}{\mathbb{E}(X)}$ $X<0$ $x\mapsto\frac{1}{x}$ $x>0$ $x<0$ $X=1$ $X$ $\mathbb{P}(X=-1)=\frac{1}{9}, \mathbb{P}(X=\frac{1}{2})=\mathbb{P}(X=2)=\frac{4}{9}$ . 그런 다음 임을 쉽게 확인할 수 있습니다 . $\mathbb{E}\left(\frac{1}{X}\right)=\frac{1}{\mathbb{E}(X)}=1$

이 예는 제목의 동일성을 유지하기 위해 가 양수 (또는 음수) 일 필요는 없음을 보여줍니다 . 여기서 분포는 변질되지 않습니다. $X$

책에서 찾은 것과 같은 예를 어떻게 구성합니까? 동기가 있습니까?

— 완고한 원자
소스

귀하의 예는 0이 아닌 상수 인 임의의 변수를 유지합니다. 또한 두 번째 예는 퇴화되지 않습니다.

— 마이클 R. 체닉

가 거의 확실하게 긍정적 이라고 가정 하지 않으면 불평등은 Jensen의 불평등을 따르지 않습니다 .

X

$X$

— whuber

@MichaelChernick 나는 예제가 퇴화 된 분포를 가지고 있다고 암시하지 않았다.

— StubbornAtom

나는 "Jensen의 불평등에서 평등 상태에 따라, 요구되는 평등을 유지하기 위해 분포가 퇴화되어야한다고 생각한다." 그러나 당신은 비 퇴화적인 예를 보여주었습니다.

— Michael R. Chernick

@ whuber 제목의 평등이 참인 예를 찾는 방법을 알고 싶습니다.

— StubbornAtom

답변:

하자 구조체 모든 가능한 예는 랜덤 변수의 되는 . 그런 다음, 가장 간단한 예 를 얻기 위해 휴리스틱을 따라갈 수 있습니다 . 이러한 휴리스틱은 예비 분석에서 제외되는 모든 표현에 가능한 가장 간단한 값을 제공합니다. 이것은 교과서 예제로 밝혀졌습니다. $X$ $E[X]E[1/X]=1$

예비 분석

정의에 따라 약간의 분석 만하면됩니다. 이 솔루션은 단지 이차적 인 관심사입니다. 주요 목표는 결과를 직관적으로 이해할 수 있도록 통찰력을 개발하는 것입니다.

먼저 Jensen의 불평등 (또는 Cauchy-Schwarz 불평등)은 양의 랜덤 변수 , 에 대해 가 "변성"인 경우에만 동등성을 유지함을 의미합니다. 이며, 거의 확실하게 일정하다. 경우 음의 확률 변수이고, 긍정적이고 선행 결과 부등식 부호 반전으로 보유하고있다. 따라서, 어떤 예 음성 및 양성이라는 긍정적 인 확률의 포지티브 확률을 가져야한다. $X$ $E[X]E[1/X] \ge 1$ $X$ $X$ $X$ $-X$ $E[1/X]=1/E[X]$

여기 통찰력은 임의 와 해야 든 부정적인 부분에서 다른 방향으로 불균형에 대해 긍정적 인 부분으로부터 부등식을 "균형"될 수있다. 우리가 갈수록 이것은 더 명확해질 것입니다. $X$ $E[X]E[1/X]=1$

0이 아닌 임의의 변수 고려하십시오 . 기대의 정의를 공식화하는 초기 단계 (적어도 측정 이론을 사용하여 전체 일반화가 수행되는 경우)는 양수 및 음수 부분으로 를 분해 하는 것입니다. $X$ $X$

\begin{aligned} Y & = Positive part (X) = max (0, X); \\ Z & = Negative part (X) = - min (0, X) . \end{aligned}

$\eqalign{ Y &= \operatorname{Positive part}(X) = \max(0, X);\\ Z &= \operatorname{Negative part}(X) = -\min(0, X). }$

이제 생각하자 A와 혼합물 의 중량과 및 가중치 여기서 분명히 이것은 우리가 양의 변수 와 대한 기대로 와 에 대한 기대치를 쓸 수있게합니다 . $X$ $Y$ $p$ $-Z$ $1-p$

p = Pr (X > 0), 1 - p = Pr (X < 0) .

$p=\Pr(X\gt 0),\ 1-p = \Pr(X \lt 0).$

0 < p < 1.

$0 \lt p \lt 1.$ $X$ $1/X$ $Y$ $Z$

다가오는 대수를 약간 단순화하기 위해 를 숫자 균일하게 크기를 조정 해도 는 변경되지 않지만 및 각각 가 곱해 집니다. . 양의 경우 이는 단순히 측정 단위를 선택하는 것과 같습니다 . 음의 는 와 의 역할을 전환합니다 . 의 부호를 적절히 선택하면 라고 가정 할 수 있습니다 $X$ $\sigma$ $E[X]E[1/X]$ $E[Y]$ $E[Z]$ $\sigma$ $\sigma$ $X$ $\sigma$ $Y$ $Z$ $\sigma$

\begin{matrix} (1) & E [Z] = 1 and E [Y] \geq E [Z] . \end{matrix}

$E[Z]=1\text{ and }E[Y] \ge E[Z].\tag{1}$

표기법

그것은 예비 단순화를위한 것입니다. 좋은 표기법을 만들려면 다음과 같이 작성하십시오.

μ = E [Y]; ν = E [1 / Y]; λ = E [1 / Z]

$\mu = E[Y];\ \nu = E[1/Y];\ \lambda=E[1/Z]$

세 가지 기대에 대해 우리는 통제 할 수 없습니다. 세 가지 수량 모두 양수입니다. 젠슨의 불평등 주장

\begin{matrix} (2) & μ ν \geq 1 and λ \geq 1. \end{matrix}

$\mu\nu \ge 1\text{ and }\lambda \ge 1.\tag{2}$

총 확률의 법칙은 우리가 명명 한 수량 으로 와 에 대한 기대를 나타냅니다 . $X$ $1/X$

E [X] = E [X ∣ X > 0] Pr (X > 0) + E [X ∣ X < 0] Pr (X < 0) = μ p - (1 - p) = (μ + 1) p - 1

$E[X] = E[X\mid X\gt 0]\Pr(X \gt 0) + E[X\mid X \lt 0]\Pr(X \lt 0) = \mu p - (1-p) = (\mu + 1)p - 1$

그리고, 이후 같은 부호가 , $1/X$ $X$

E [\frac{1}{X}] = E [\frac{1}{X} ∣ X > 0] Pr (X > 0) + E [\frac{1}{X} ∣ X < 0] Pr (X < 0) = ν p - λ (1 - p) = (ν + λ) p - λ .

$E\left[\frac{1}{X}\right] = E\left[\frac{1}{X}\mid X\gt 0\right]\Pr(X \gt 0) + E\left[\frac{1}{X}\mid X \lt 0\right]\Pr(X \lt 0) = \nu p - \lambda(1-p) = (\nu + \lambda)p - \lambda.$

이 두 표현식의 곱을 과 동일하게하면 변수간에 필수적인 관계가 제공됩니다. $1$

\begin{matrix} (*) & 1 = E [X] E [\frac{1}{X}] = ((μ + 1) p - 1) ((ν + λ) p - λ) . \end{matrix}

$1 = E[X]E\left[\frac{1}{X}\right] = ((\mu +1)p - 1)((\nu + \lambda)p - \lambda).\tag{*}$

문제의 재구성

가정의 부 - 및 --are 어떤 긍정적 인 랜덤 변수 (또는 변성되지 않음). 즉, 결정 및 . 때 찾을 수 가진 되는, 보유? $X$ $Y$ $Z$ $\mu, \nu,$ $\lambda$ $p$ $0 \lt p \lt 1$ $(*)$

이것은 이전에 막연하게 언급 된 "밸런싱"통찰력을 명확하게 보여줍니다. 우리는 와 고정시키고 대한 상대적 기여도를 적절히 균형있게하는 의 값을 찾고자합니다 . 그러한 요구가 존재 한다는 것이 즉시 명백하지는 않지만 , 명백한 것은 그것이 순간 , , 및 에만 의존한다는 점 이다. 이에 따라 문제는 비교적 간단한 대수로 축소되어 모든 랜덤 변수 분석이 완료되었습니다. $Y$ $Z$ $p$ $X$ $p$ $E[Y]$ $E[1/Y]$ $E[Z]$ $E[1/Z]$

해결책

이 대수 문제는 대한 2 차 방정식 이고 지배적 불평등 과 가 비교적 단순 하기 때문에 해결하기가 어렵지 않습니다 . 실제로 는 근의 결과를 알려줍니다 및 는 $(*)$ $p$ $(1)$ $(2)$ $(*)$ $p_1$ $p_2$

p_{1} p_{2} = (λ - 1) \frac{1}{(μ + 1) (ν + λ)} \geq 0

$p_1p_2 = (\lambda - 1)\frac{1}{(\mu+1)(\nu+\lambda)} \ge 0$

그리고 합계는

p_{1} + p_{2} = (2 λ + λ μ + ν) \frac{1}{(μ + 1) (ν + λ)} > 0.

$p_1 + p_2 = (2\lambda + \lambda \mu + \nu)\frac{1}{(\mu+1)(\nu+\lambda)} \gt 0.$

따라서 두 뿌리 모두 양수 여야합니다. 또한, 평균 미만이다 있기 때문에, $1$

1 - \frac{(p_{1} + p_{2})}{2} = \frac{λ μ + ν + 2 μ ν}{2 (μ + 1) (ν + λ)} > 0.

$1 - \frac{(p_1+p_2)}{2} = \frac{\lambda \mu + \nu + 2 \mu \nu}{2(\mu+1)(\nu+\lambda)} \gt 0.$

(대수를 약간만해도 두 뿌리 중 큰 것이 초과하지 않음을 보여주는 것은 어렵지 않습니다 .) $1$

정리

우리가 찾은 것은 다음과 같습니다.

감안 어떤 두 개의 긍정적 인 확률 변수 및 되는 (비축 갖는 적어도 하나의) , , 및 존재 한정되어있다. 이어서 하나 또는 두 개의 값 중 하나가 존재 와, 혼합물 변수 결정 중량과 에 대한 및 가중치 에 대한 하고있는을 . 확률 변수의 모든 이러한 경우 와 이 형식이다. $Y$ $Z$ $E[Y]$ $E[1/Y]$ $E[Z]$ $E[1/Z]$ $p$ $0 \lt p \lt 1$ $X$ $p$ $Y$ $1-p$ $-Z$ $E[X]E[1/X]=1$ $X$ $E[X]E[1/X]=1$

그것은 실제로 우리에게 풍부한 예를 제공합니다!

가장 간단한 가능한 예제 구성

모든 예제 를 특성화 한 후 가능한 간단한 예제를 작성해 봅시다.

음수 부분 경우 $Z$ 가장 간단한 종류의 랜덤 변수 인 변성 변수를 선택합시다 . whence 이면 값을 로 조정합니다 . 용액은 가 포함 만 긍정적 인 루트 : 쉽게 해결 차식으로 감소 $1$ $\lambda=1$ $(*)$ $p_1=0$

$\begin{matrix} (3) & p = \frac{1}{1 + μ} + \frac{1}{1 + ν} . \end{matrix}$ $p = \frac{1}{1+\mu} + \frac{1}{1+\nu}.\tag{3}$
양수 부분 경우, 가 퇴행 하면 유용하지 않으므로 와 같이 두 개의 구별되는 양수 값 에서 확률을 줍시다 . $Y$ $Y$ $a \lt b$ $\Pr(X=b)=q$ 이 경우 기대의 정의는

$μ = E [Y] = (1 - q) a + q b; ν = E [1 / Y] = (1 - q) / a + q / b .$ $\mu = E[Y] = (1-q)a + qb;\ \nu = E[1/Y] = (1-q)/a + q/b.$
더 간단이하려면 만들자 와 동일 : $Y$ $1/Y$ 이 힘 및 . 지금 $q=1-q=1/2$ $a=1/b$

$μ = ν = \frac{b + 1 / b}{2} .$ $\mu = \nu = \frac{b + 1/b}{2}.$
솔루션 은 $(3)$

$p = \frac{2}{1 + μ} = \frac{4}{2 + b + 1 / b} .$ $p = \frac{2}{1+\mu} = \frac{4}{2 + b + 1/b}.$
간단한 숫자를 어떻게 포함시킬 수 있습니까? 이후 및 , 반드시 . 대해 보다 큰 가장 간단한 숫자를 선택합시다 . 즉, 입니다. 전술 한 공식은 이며 가장 간단한 예에 대한 후보는 다음과 같습니다. $a\lt b$ $ab=1$ $b\gt 1$ $1$ $b$ $b=2$ $p = 4/(2+2+1/2) = 8/9$

$\begin{aligned} Pr (X = 2) = Pr (X = b) = Pr (Y = b) p = q p = \frac{1}{2} \frac{8}{9} = \frac{4}{9}; \\ Pr (X = 1 / 2) = Pr (X = a) = Pr (Y = a) p = q p = \dots = \frac{4}{9}; \\ Pr (X = - 1) = Pr (Z = 1) (1 - p) = 1 - p = \frac{1}{9} . \end{aligned}$ $\eqalign{ \Pr(X=2) = \Pr(X=b) = \Pr(Y=b)p = qp = \frac{1}{2}\frac{8}{9} = \frac{4}{9};\\ \Pr(X=1/2) = \Pr(X=a) = \Pr(Y=a)p = qp = \cdots = \frac{4}{9};\\ \Pr(X=-1) = \Pr(Z=1)(1-p) = 1-p = \frac{1}{9}. }$

이것은 교과서에 제공된 바로 그 예입니다.

— 우버
소스

좋은 대답입니다. 나의 초기 회의론에도 불구하고 이라는 뚜렷한 해결책을 가진 예를 쉽게 찾을 수 있습니다.

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— P.Windridge

앞에서 언급했듯이 가 양수이면 가 거의 일정 할 때만 가 발생합니다 . 그렇지 않으면 음수 값과 양수 값을 모두 사용 하려면 가 필요 합니다. $X$ $E(1/X)=1/E(X)$ $X$ $X$

이러한 예를 구성하려면 먼저 가능한 한 간단하게 진행하십시오. 가 확률 와 갖는 두 개의 값 와 취 한다고 가정합니다 . 그런 다음 및 이하기 우리가 필요로 요구되는 재 배열 이는 가능한 유일한 솔루션에 또는 또는 있어야 함을 의미합니다 . 모든 경우에 우리는 퇴화 사례로 돌아갑니다. 는 일정합니다. $X$ $a$ $b$ $p$ $1-p$

E (X) = a p + b (1 - p)

$E(X)=ap+b(1-p)$

E (1 / X) = \frac{1}{a} p + \frac{1}{b} (1 - p) .

$E(1/X)=\frac1ap+\frac1b(1-p).$

1 / E (X) = E (1 / X)

$1/E(X)=E(1/X)$

a p + b (1 - p) = \frac{1}{\frac{1}{a} p + \frac{1}{b} (1 - p)}

$ap+b(1-p)=\frac1{\frac1ap+\frac1b(1-p)}$

(a - b)^{2} p (1 - p) = 0.

$(a-b)^2p(1-p)=0.$

a = b

$a=b$

p = 0

$p=0$

p = 1

$p=1$

X

$X$

다음 시도 : 세 가지 가능한 값을 가진 분포. 여기에는 더 많은 선택이 있습니다. 인용 한 예는 가 동일한 분포를 갖도록 시도합니다 . 우리가 알고있는 경우 세 개의 값을 사용, 그것은 값의 일 중 하나입니다해야 또는 , 다른 두 사람은해야 및 의 몇 가지 선택을위한 . 명확성을 위해 , . 그런 다음 요구 사항 우리는 또는 $X$ $1/X$ $X$ $1$ $-1$ $a$ $1/a$ $a$ $P(X=a)=P(X=1/a)=p$ $P(X=-1)=1-2p$

\begin{matrix} (1) & E (1 / X) = E (X) = (a + \frac{1}{a}) p - (1 - 2 p) = (2 + a + \frac{1}{a}) p - 1. \end{matrix}

$E(1/X)=E(X)=(a+\frac1a)p-(1-2p)=(2+a+\frac1a)p-1.\tag1$

1 / E (X) = E (1 / X)

$1/E(X)=E(1/X)$

E (X) = 1

$E(X)=1$

E (X) = - 1

$E(X)=-1$ . 아니라면 식 (1)은 절대 이 아니며 , 이는 다시 퇴화 사례로 돌아갑니다. 그래서 목표 제공, 식 (2)는 요구 사항을 충족하는 전체 솔루션 제품군을 제공합니다. 유일한 제약은 가 양수 여야한다는 것입니다. 인용 한 예에는 됩니다. 사례 만 퇴화됩니다.

- 1

$-1$

p = 0

$p=0$

E (X) = 1

$E(X)=1$

\begin{matrix} (2) & (2 + a + \frac{1}{a}) p = 2 \Leftrightarrow p = \frac{2}{2 + a + \frac{1}{a}} = \frac{2 a}{(a + 1)^{2}} . \end{matrix}

$(2+a+\frac1a)p=2\quad\Leftrightarrow\quad p=\frac2{2+a+\frac1a}=\frac{2a}{(a+1)^2}.\tag2$

a

$a$

a = 2

$a=2$

a = 1

$a=1$

— 그랜드 채팅
소스

첫 번째 줄은 " 가 양수이면 는 가 거의 일정 할 때만 발생합니다 "라는 것입니다. . 이것은 Jensen의 불평등에서 나옵니다. 여기서 가 선형이 아니라는 사실도 사용합니다 .

X

$X$

E [1 / X] = 1 / E [X]

$\mathbb{E}[1/X]=1/\mathbb{E}[X]$

X

$X$

h (x) = 1 / x

$h(x) = 1/x$

— P.Windridge

@ P.Windridge 당신이 맞아요! 결정된.

— grand_chat